(ITA) A equação
representa, no espaço de coordenadas
.
d) um octaedro centrado na origem
d) um octaedro centrado na origem
Passo 1
Neste exercício, temos a equação $ |x| + |y| + |z| = 1 $ em
. Queremos entender qual superfície esse conjunto descreve; o conteúdo envolve geometria analítica e poliedros definidos por planos.
Passo 2
Para tratar os valores absolutos, dividimos o espaço nos oito octantes onde cada variável tem sinal fixo. Em cada região, substituímos
,
e
conforme o sinal de
.
Passo 3
No primeiro octante (
), a equação vira
. Esse é o plano que intercepta os eixos nos pontos
,
e
, formando um triângulo.
Passo 4
Repetindo o mesmo argumento nos outros sete octantes, obtemos mais sete triângulos congruentes, um em cada região de sinais. A união desses oito triângulos forma um poliedro convexo com oito faces triangulares.
Passo 5
Observando os vértices obtidos nas interseções com os eixos, vemos que são exatamente
,
e
. Um poliedro com seis vértices assim dispostos e oito faces triangulares é um octaedro regular centrado na origem.
Resposta
A superfície
é um octaedro regular centrado na origem, com vértices em
,
e
.