(ITA) A equação |x|+|y|+|z|=1 representa, no espaço de coordenadas (x, y, z) in R^3.
d) um octaedro centrado na origem

Passo 1

Neste exercício, temos a equação $ |x| + |y| + |z| = 1 $ em |x| + |y| + |z| = 1 . Queremos entender qual superfície esse conjunto descreve; o conteúdo envolve geometria analítica e poliedros definidos por planos.

Passo 2

Para tratar os valores absolutos, dividimos o espaço nos oito octantes onde cada variável tem sinal fixo. Em cada região, substituímos |x| = pm x, |y| = pm y e |z| = pm z conforme o sinal de x,y,z.

Passo 3

No primeiro octante ( x>=0,;y>=0,;z>=0), a equação vira x + y + z = 1. Esse é o plano que intercepta os eixos nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), formando um triângulo.

Passo 4

Repetindo o mesmo argumento nos outros sete octantes, obtemos mais sete triângulos congruentes, um em cada região de sinais. A união desses oito triângulos forma um poliedro convexo com oito faces triangulares.

Passo 5

Observando os vértices obtidos nas interseções com os eixos, vemos que são exatamente (pm1,0,0), (0,pm1,0) e (0,0,pm1). Um poliedro com seis vértices assim dispostos e oito faces triangulares é um octaedro regular centrado na origem.

Resposta

A superfície |x|+|y|+|z|=1 é um octaedro regular centrado na origem, com vértices em (pm1,0,0), (0,pm1,0) e (0,0,pm1).

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