Considere a equação
. Se você iniciar as iterações do Método de Ponto Fixo com
usando a função de iteração
, explique se o método convergirá e por quê.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a equação
. - Função de iteração proposta:
. - Ponto inicial:
. - Pergunta: o Método de Ponto Fixo com esta
e este vai convergir? Explique por quê.
Informações relevantes listadas:
- Um ponto fixo de
é tal que . Aqui um ponto fixo de é exatamente uma raiz de . - Precisamos verificar condições que garantam convergência (por exemplo, o Teorema do Ponto Fixo de Banach / Contracção): existência de um intervalo fechado
tal que e para todo .
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Breve aula rápida: o que é iteração de ponto fixo e o Teorema da Contracção
- Iteração de ponto fixo gera a sequência
Se
e
, então
é ponto fixo (solução).
- Teorema (Banach / Contracção), versão prática que vamos usar:
Se existir um intervalo fechadotal que
-
é contínua em ; -
(ou seja, leva pontos de para ); - existe
tal que para todo ;
então existe um único ponto fixoe, para qualquer , a iteração converge para .
Explicando as condições:
- A condição
garante que aproxima pontos: as distâncias encolhem por um fator no máximo a cada iteração (daí o nome “contracção”). - Precisamos, portanto, encontrar um intervalo
que contenha e onde as duas propriedades acima sejam válidas.
Passo 3
Existência da raiz (ponto fixo) em
Vamos primeiro mostrar que existe uma raiz de
em
. Calcule:
Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
. Essa raiz é o ponto fixo de
porque
.
Passo 4
Escolha de um intervalo
que contenha
e seja invariável por
Queremos um intervalo fechado
tal que
, a raiz esteja em
e
.
Escolho
(ou seja,
,
). Justificativas:
- Contém
. - Contém a raiz, pois já sabemos
e mais precisamente a raiz vale cerca de , que está dentro de (vamos confirmar coerência a seguir). - Agora verifico que
manda em si:
Calcule os extremos:
Como
é decrescente, para
os valores
variam entre
e
, ou seja
Esse intervalo está contido em
porque
e
. Portanto
.
Passo 5
Verificação da condição de contracção (
em
)
- Derivada de
:
- Módulo da derivada:
Em
a função
é decrescente, logo atinge o seu máximo no ponto esquerdo
. Assim
Logo podemos tomar
. Assim
para todo
.
Passo 6
Aplicação do Teorema da Contracção e conclusão prática
Juntando os resultados:
-
é contínua em . -
. -
em .
Pelo Teorema de Banach, existe um único ponto fixo
e a iteração
converge para
para qualquer
. Em particular, como
, a sequência gerada a partir de
converge para essa raiz única.
Para intuição, veja algumas iterações numéricas rápidas (apenas para sentir o comportamento; cálculos arredondados):
essas iterações oscilam e se aproximam de
. A razão da convergência linear é o fator
: o erro é reduzido aproximadamente por esse fator a cada iteração.
Resposta
Sim. Converge para a raiz única
porque existe um intervalo fechado (por exemplo
) contendo
em que
e
, logo
é uma contracção em
e a iteração converge pelo Teorema do Ponto Fixo (Banach).