Considere a equação f(x)=e^{-x}-x=0. Se você iniciar as iterações do Método de Ponto Fixo com x_{0}=0.5 usando a função de iteração g(x)=e^{-x}, explique se o método convergirá e por quê.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a equação f(x)=e^{-x}-x=0.
  • Função de iteração proposta: g(x)=e^{-x}.
  • Ponto inicial: x_{0}=0,5.
  • Pergunta: o Método de Ponto Fixo com esta g e este x_{0} vai convergir? Explique por quê.
Informações relevantes listadas:
  • Um ponto fixo de g é x^{*} tal que x^{*}=g(x^{*}). Aqui um ponto fixo de g é exatamente uma raiz de f.
  • Precisamos verificar condições que garantam convergência (por exemplo, o Teorema do Ponto Fixo de Banach / Contracção): existência de um intervalo fechado I tal que g(I)\subset I e |g'(x)|\le k<1 para todo x\in I.
    A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Breve aula rápida: o que é iteração de ponto fixo e o Teorema da Contracção
  • Iteração de ponto fixo gera a sequência
x_{n+1}=g(x_{n}).
Se x_{n}\to x^{*} e x^{*}=g(x^{*}), então x^{*} é ponto fixo (solução).
  • Teorema (Banach / Contracção), versão prática que vamos usar:
    Se existir um intervalo fechado I=[a,b] tal que
  1. g é contínua em I;
  2. g(I)\subset I (ou seja, g leva pontos de I para I);
  3. existe k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k para todo x\in I;
    então existe um único ponto fixo x^{*}\in I e, para qualquer x_{0}\in I, a iteração x_{n+1}=g(x_{n}) converge para x^{*}.
Explicando as condições:
  • A condição |g'(x)|\le k<1 garante que g aproxima pontos: as distâncias encolhem por um fator no máximo k a cada iteração (daí o nome “contracção”).
  • Precisamos, portanto, encontrar um intervalo I que contenha x_{0} e onde as duas propriedades acima sejam válidas.

Passo 3

Existência da raiz (ponto fixo) em (0,1)
Vamos primeiro mostrar que existe uma raiz de f(x)=e^{-x}-x em (0,1). Calcule:
f(0)=e^{0}-0=1>0,
f(1)=e^{-1}-1\approx 0,3679-1=-0,6321<0.
Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz x^{*}\in(0,1). Essa raiz é o ponto fixo de g porque x^{*}=e^{-x^{*}}.

Passo 4

Escolha de um intervalo I que contenha x_{0} e seja invariável por g
Queremos um intervalo fechado I=[a,b] tal que x_{0}=0,5\in I, a raiz esteja em I e g(I)\subset I.
Escolho I=[0,4,\,0,7] (ou seja, a=0,4, b=0,7). Justificativas:
  • Contém x_{0}=0,5.
  • Contém a raiz, pois já sabemos x^{*}\in(0,1) e mais precisamente a raiz vale cerca de 0,567, que está dentro de [0,4,0,7] (vamos confirmar coerência a seguir).
  • Agora verifico que g manda I em si:
Calcule os extremos:
g(0,4)=e^{-0,4}\approx 0,6703,
g(0,7)=e^{-0,7}\approx 0,4966.
Como g(x)=e^{-x} é decrescente, para x\in[0,4,0,7] os valores g(x) variam entre g(0,7) e g(0,4), ou seja
g([0,4,0,7])=[g(0,7),g(0,4)]=[0,4966,\;0,6703].
Esse intervalo está contido em [0,4,0,7] porque 0,4966\ge 0,4 e 0,6703\le 0,7. Portanto g(I)\subset I.

Passo 5

Verificação da condição de contracção ( |g'|\le k<1 em I)
  • Derivada de g:
g'(x) = -e^{-x}.
  • Módulo da derivada:
|g'(x)| = e^{-x}.
Em I=[0,4,0,7] a função e^{-x} é decrescente, logo atinge o seu máximo no ponto esquerdo x=0,4. Assim
\max_{x\in I}|g'(x)| = e^{-0,4}\approx 0,6703.
Logo podemos tomar k = e^{-0,4}\approx 0,6703 <1. Assim |g'(x)|\le k<1 para todo x\in I.

Passo 6

Aplicação do Teorema da Contracção e conclusão prática
Juntando os resultados:
  • g é contínua em I.
  • g(I)\subset I.
  • |g'(x)|\le k<1 em I.
Pelo Teorema de Banach, existe um único ponto fixo x^{*}\in I e a iteração x_{n+1}=g(x_{n}) converge para x^{*} para qualquer x_{0}\in I. Em particular, como x_{0}=0,5\in I, a sequência gerada a partir de x_{0}=0,5 converge para essa raiz única.
Para intuição, veja algumas iterações numéricas rápidas (apenas para sentir o comportamento; cálculos arredondados):
x_{0}=0,5,\quad x_{1}=g(x_{0})=e^{-0,5}\approx 0,6065,
x_{2}=g(x_{1})\approx e^{-0,6065}\approx 0,5452,
x_{3}=g(x_{2})\approx e^{-0,5452}\approx 0,5796,
x_{4}\approx 0,5601,\; x_{5}\approx 0,5711,\;\dots
essas iterações oscilam e se aproximam de x^{*}\approx 0,567143\ldots. A razão da convergência linear é o fator k\approx 0,67: o erro é reduzido aproximadamente por esse fator a cada iteração.

Resposta

Sim. Converge para a raiz única x^{*}\approx 0,567143 porque existe um intervalo fechado (por exemplo I=[0,4,0,7]) contendo x_{0} em que g(I)\subset I e |g'(x)|=e^{-x}\le e^{-0,4}\approx 0,6703<1, logo g é uma contracção em I e a iteração converge pelo Teorema do Ponto Fixo (Banach).

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