Utilize o Método da Secante para encontrar a raiz da equação f(x)=x^{3}-x-1=0 no intervalo [1,2] com uma precisão de 10^{-2}. Apresente as primeiras 3 iterações.

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz da equação \;f(x)=x^{3}-x-1=0\; no intervalo [1,2] usando o Método da Secante, com precisão \;10^{-2}\;.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Função: \;f(x)=x^{3}-x-1\;.
  • Intervalo inicial: \;[1,2]\;.
  • Precisão desejada: \;10^{-2}\; (critério de parada: |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-2}).
  • Pediram explicitamente: apresentar as primeiras 3 iterações do método e, no final, fornecer a aproximação da raiz com a precisão pedida.
    Começaremos com as duas aproximações iniciais naturais dadas pelo intervalo: \;x_{0}=1\; e \;x_{1}=2\;.

Passo 2

O que é o Método da Secante e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • A ideia do Método da Secante é aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação \;x_{n+1}\;.
  • Fórmula do passo (secante):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • \;x_{n-1} e \;x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • \;f(x_{n-1}) e \;f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})} é a inclinação (inversa, ajustada) da secante; multiplicando por f(x_n) e subtraindo de x_n achamos a interseção.
  • Critério de parada que vamos usar: parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-2}.
    Vou mostrar as primeiras 3 iterações detalhadamente (essas três são as primeiras aplicações da fórmula a partir de \;x_0,x_1) e depois continuar até que a tolerância seja satisfeita.

Passo 3

Avaliação inicial de f nos pontos iniciais:
f(1)=1^{3}-1-1=-1.
f(2)=2^{3}-2-1=8-2-1=5.
Portanto:
x_{0}=1,\quad f(x_{0})=-1;\qquad x_{1}=2,\quad f(x_{1})=5.

Passo 4

Iteração 1 (usar \;x_{0}=1 e \;x_{1}=2 para obter \;x_{2}):
Aplicando a fórmula da secante:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =2-5\cdot\frac{2-1}{5-(-1)} =2-5\cdot\frac{1}{6} =2-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}.
Como decimal:
x_{2}=\frac{7}{6}\approx 1,1666666667.
Agora calculamos f(x_{2}):
f\!\left(\tfrac{7}{6}\right)=\left(\tfrac{7}{6}\right)^{3}-\tfrac{7}{6}-1 =\frac{343}{216}-\frac{7}{6}-1 =\frac{343-252-216}{216}=\frac{-125}{216}\approx -0,5787037037.

Passo 5

Iteração 2 (usar \;x_{1}=2 e \;x_{2}=\tfrac{7}{6} para obter \;x_{3}):
Aplicando a fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo com frações exatas para manter precisão:
x_{2}-x_{1}=\tfrac{7}{6}-2=-\tfrac{5}{6},\qquad f(x_{2})=-\tfrac{125}{216},\qquad f(x_{1})=5.
Então
x_{3}=\tfrac{7}{6}-\Big(-\tfrac{125}{216}\Big)\cdot\frac{-\tfrac{5}{6}}{-\tfrac{125}{216}-5}.
Calculemos passo a passo (fácil de simplificar):
\text{numerador do quociente}=\Big(-\tfrac{125}{216}\Big)\cdot\Big(-\tfrac{5}{6}\Big)=\tfrac{625}{1296},
\text{denominador}= -\tfrac{125}{216}-5=-\tfrac{125+1080}{216}=-\tfrac{1205}{216}.
Portanto
\frac{\tfrac{625}{1296}}{-\tfrac{1205}{216}}=\tfrac{625}{1296}\cdot\frac{216}{-1205}=\tfrac{625}{6\cdot(-1205)}=-\tfrac{125}{1446}.
Então
x_{3}=\tfrac{7}{6}-\Big(-\tfrac{125}{1446}\Big)=\tfrac{7}{6}+\tfrac{125}{1446}=\frac{1687+125}{1446}=\frac{1812}{1446}=\frac{302}{241}.
Como decimal:
x_{3}=\frac{302}{241}\approx 1,253112033.
Agora f(x_{3}). Usando cálculo racional:
f(x_{3})=\left(\frac{302}{241}\right)^{3}-\frac{302}{241}-1 =\frac{302^{3}-302\cdot241^{2}-241^{3}}{241^{3}}.
Calculando numeradores:
302^{3}=27\,543\,608,\quad 302\cdot241^{2}=17\,540\,462,\quad 241^{3}=13\,997\,521.
Logo o numerador é
27\,543\,608-17\,540\,462-13\,997\,521=-3\,994\,375,
portanto
f(x_{3})=-\frac{3\,994\,375}{13\,997\,521}\approx -0,285363\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Iteração 3 (usar \;x_{2}=\tfrac{7}{6} e \;x_{3}=\tfrac{302}{241} para obter \;x_{4}):
Usamos a fórmula diretamente com valores decimais já suficientes:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Números usados:
x_{3}\approx 1,253112033,\quad x_{2}\approx 1,166666667,\quad f(x_{3})\approx -0,285363,\quad f(x_{2})\approx -0,578703704.
Calculando as diferenças:
x_{3}-x_{2}\approx 0,086445366,
f(x_{3})-f(x_{2})\approx -0,285363-(-0,578703704)=0,293340704.
Agora o termo de correção:
\Delta=\;f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}\approx (-0,285363)\cdot\frac{0,086445366}{0,293340704}\approx -0,0841249.
Portanto
x_{4}=x_{3}-\Delta\approx 1,253112033-(-0,0841249)\approx 1,337236933.
Avaliação de f em x_{4}:
f(x_{4})\approx (1,337236933)^{3}-1,337236933-1\approx 0,054066\\ (\text{aprox.}).
Observação: estas três iterações (produzindo x_{2},x_{3},x_{4}) são as “primeiras 3 iterações” pedidas. Abaixo continuo até o critério de erro |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-2} ser satisfeito.

Passo 7

Verificação do critério após a 3ª iteração:
|x_{4}-x_{3}|\approx |1,337236933-1,253112033|\approx 0,0841249>10^{-2},
logo não satisfaz a precisão, precisamos iterar mais.
Iteração 4 (usando x_{3} e x_{4}) para obter x_{5}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Usando os valores:
x_{4}-x_{3}\approx 0,0841249,\quad f(x_{4})\approx 0,054066,\quad f(x_{3})\approx -0,285363.
Cálculo do termo:
\Delta\approx 0,054066\cdot\frac{0,0841249}{0,054066-(-0,285363)} =0,054066\cdot\frac{0,0841249}{0,339429}\approx 0,013383.
Portanto
x_{5}\approx x_{4}-0,013383\approx 1,337236933-0,013383\approx 1,3238536.
Avaliação:
f(x_{5})\approx (1,3238536)^{3}-1,3238536-1\approx -0,004042\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Iteração 5 (usando x_{4} e x_{5}) para obter x_{6}:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\cdot\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Dados:
x_{5}-x_{4}\approx -0,0133833,\quad f(x_{5})\approx -0,004042,\quad f(x_{4})\approx 0,054066.
Cálculo do termo:
\Delta\approx (-0,004042)\cdot\frac{-0,0133833}{-0,004042-0,054066} =0,0000541/(-0,058108)\approx -0,000931.
Então
x_{6}=x_{5}-\Delta\approx 1,3238536-(-0,000931)\approx 1,3247846.
Agora a diferença entre as últimas iterações:
|x_{6}-x_{5}|\approx 0,000931<10^{-2},
ou seja, atingimos a precisão pedida \;10^{-2}\;.
Portanto podemos parar. Se quisermos arredondar a resposta à precisão pedida (duas casas decimais), obtemos 1,32.

Resposta

x\approx 1,32

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