Utilize o Método da Secante para encontrar a raiz da equação
no intervalo
com uma precisão de
. Apresente as primeiras 3 iterações.
Passo 1
O enunciado pede para achar a raiz da equação
no intervalo
usando o Método da Secante, com precisão
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Precisão desejada:
(critério de parada: ). - Pediram explicitamente: apresentar as primeiras 3 iterações do método e, no final, fornecer a aproximação da raiz com a precisão pedida.
Começaremos com as duas aproximações iniciais naturais dadas pelo intervalo:e .
Passo 2
O que é o Método da Secante e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
- A ideia do Método da Secante é aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos
e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação - Fórmula do passo (secante):
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; - o quociente
é a inclinação (inversa, ajustada) da secante; multiplicando por e subtraindo de achamos a interseção. - Critério de parada que vamos usar: parar quando
.
Vou mostrar as primeiras 3 iterações detalhadamente (essas três são as primeiras aplicações da fórmula a partir de) e depois continuar até que a tolerância seja satisfeita.
Passo 3
Avaliação inicial de
nos pontos iniciais:
Portanto:
Passo 4
Iteração 1 (usar
e
para obter
):
Aplicando a fórmula da secante:
Aplicando a fórmula da secante:
Como decimal:
Agora calculamos
:
Passo 5
Iteração 2 (usar
e
para obter
):
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Substituindo com frações exatas para manter precisão:
Então
Calculemos passo a passo (fácil de simplificar):
Portanto
Então
Como decimal:
Agora
. Usando cálculo racional:
Calculando numeradores:
Logo o numerador é
portanto
Passo 6
Iteração 3 (usar
e
para obter
):
Usamos a fórmula diretamente com valores decimais já suficientes:
Usamos a fórmula diretamente com valores decimais já suficientes:
Números usados:
Calculando as diferenças:
Agora o termo de correção:
Portanto
Avaliação de
em
:
Observação: estas três iterações (produzindo
) são as “primeiras 3 iterações” pedidas. Abaixo continuo até o critério de erro
ser satisfeito.
Passo 7
Verificação do critério após a 3ª iteração:
logo não satisfaz a precisão, precisamos iterar mais.
Iteração 4 (usando
e
) para obter
:
Usando os valores:
Cálculo do termo:
Portanto
Avaliação:
Passo 8
Iteração 5 (usando
e
) para obter
:
Dados:
Cálculo do termo:
Então
Agora a diferença entre as últimas iterações:
ou seja, atingimos a precisão pedida
Portanto podemos parar. Se quisermos arredondar a resposta à precisão pedida (duas casas decimais), obtemos
.