Pesquise onde são utilizadas as equações de Bessel:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0
onde v é constante.
O que acontece se v=0, v=1, v=1 / 2;

Passo 1

O enunciado pede para investigarmos onde a equação de Bessel de ordem v
x^2y'' + x y' + (x^2 - v^2)y = 0
é aplicada na prática e, em seguida, ver o que ocorre com as soluções quando v=0, v=1 e v=1/2. Vamos precisar entender a definição das funções de Bessel Jv(x) e Yv(x) como soluções fundamentais desse EDO e conhecer aplicações em física e engenharia.

Passo 2

As equações de Bessel aparecem sempre que há simetria cilíndrica ou radial em problemas de contorno. Os principais exemplos incluem vibração de membranas circulares (como o diagrama de modos de um tambor), propagação de ondas eletromagnéticas em guias cilíndricos, condução de calor em barras ou cilindros, difração e espalhamento em física quântica e acústica, além de problemas em hidráulica e geofísica.

Passo 3

Quando v=0, as duas soluções independentes são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero, J0(x) e Y0(x). Essa ordem governa, por exemplo, o modo fundamental de vibração de uma membrana circular sem nódulos angulares; J0(x) é finita em x=0 e Y0(x) diverge em zero.

Passo 4

Para v=1, as soluções são J1(x) e Y1(x). Elas aparecem no estudo de modos com um nódulo angular (modo dipolar) em membranas circulares e também em problemas de fluxo de calor onde há dependência linear em theta.

Passo 5

No caso de v = 1/2, as funções de Bessel se tornam expressões elementares em termos de seno e cosseno:
J1/2(x) = raiz2pi x,sin x, Y1/2(x) = -raiz2pi x,cos x
Isso facilita muito o tratamento analítico, por exemplo, em problemas de radiação esférica ou cilindrada onde aparecem soluções em termos de ondas senoidais divididas por raizx.

Resposta

As equações de Bessel surgem em cálculos de vibrações, condução de calor, propagação de ondas e difração em coordenadas cilíndricas. Para v=0 obtemos J0(x) e Y0(x); para v=1, J1(x) e Y1(x); e para v=1/2, elas se reduzem a combinações de sin x e cos x como mostrado acima.

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