Pesquise onde são utilizadas as equações de Bessel:
onde v é constante.
O que acontece se
;
O que acontece se
Passo 1
O enunciado pede para investigarmos onde a equação de Bessel de ordem
é aplicada na prática e, em seguida, ver o que ocorre com as soluções quando
,
e
. Vamos precisar entender a definição das funções de Bessel
e
como soluções fundamentais desse EDO e conhecer aplicações em física e engenharia.
Passo 2
As equações de Bessel aparecem sempre que há simetria cilíndrica ou radial em problemas de contorno. Os principais exemplos incluem vibração de membranas circulares (como o diagrama de modos de um tambor), propagação de ondas eletromagnéticas em guias cilíndricos, condução de calor em barras ou cilindros, difração e espalhamento em física quântica e acústica, além de problemas em hidráulica e geofísica.
Passo 3
Quando
, as duas soluções independentes são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero,
e
. Essa ordem governa, por exemplo, o modo fundamental de vibração de uma membrana circular sem nódulos angulares;
é finita em
e
diverge em zero.
Passo 4
Para
, as soluções são
e
. Elas aparecem no estudo de modos com um nódulo angular (modo dipolar) em membranas circulares e também em problemas de fluxo de calor onde há dependência linear em
.
Passo 5
No caso de
, as funções de Bessel se tornam expressões elementares em termos de seno e cosseno:
Isso facilita muito o tratamento analítico, por exemplo, em problemas de radiação esférica ou cilindrada onde aparecem soluções em termos de ondas senoidais divididas por
.
Resposta
As equações de Bessel surgem em cálculos de vibrações, condução de calor, propagação de ondas e difração em coordenadas cilíndricas. Para
obtemos
e
; para
,
e
; e para
, elas se reduzem a combinações de
e
como mostrado acima.