Considere a seguinte função
. Determine todas as assíntotas horizontais e verticais desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais da função
. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as assíntotas verticais. Elas ocorrem onde o denominador da função se torna zero, pois nesses pontos a função não está definida (o y tende ao infinito). Para encontrar esses pontos, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero.
O denominador é
. Vamos resolver:
Passo 3
Podemos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:
Resolvendo para x:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função tende quando
vai para positivo ou negativo infinito. Para funções racionais, se o grau do polinômio no numerador e no denominador for igual, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes principais.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Os coeficientes principais (os que estão com
) são ambos 1.
Então, a assíntota horizontal é:
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.