Considere a seguinte função y=x^2+1x^2-2 x+1. Determine todas as assíntotas horizontais e verticais desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais da função y = x^2 + 1x^2 - 2x + 1 . Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as assíntotas verticais. Elas ocorrem onde o denominador da função se torna zero, pois nesses pontos a função não está definida (o y tende ao infinito). Para encontrar esses pontos, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero.
O denominador é x^2 - 2x + 1 . Vamos resolver:
x^2 - 2x + 1 = 0

Passo 3

Podemos fatorar o denominador:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, a equação fica:
(x - 1)^2 = 0
Resolvendo para x:
x - 1 = 0
x = 1
Então, temos uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função tende quando x vai para positivo ou negativo infinito. Para funções racionais, se o grau do polinômio no numerador e no denominador for igual, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes principais.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Os coeficientes principais (os que estão com x^2 ) são ambos 1.
Então, a assíntota horizontal é:
y = 11 = 1

Resposta

A função y = x^2 + 1x^2 - 2x + 1 possui uma assíntota vertical em x = 1 e uma assíntota horizontal em y = 1 .

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