Considere equação integral
Diferenciando duas vezes a equação integral dada, mostre que
satisfaz a equação diferencial
Além disso, mostre que as condicoes iniciais são
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
. Isso é uma equação integral de Volterra de segunda espécie. Para resolver, vamos usar diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e transformar em uma equação diferencial.
Passo 2
Diferenciando a equação em relação a
e aplicando a regra de Leibniz temos:
Logo, derivando ambos os lados:
Diferenciando mais uma vez e lembrando que
obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 3
Para as condições iniciais, avalie em
: da equação original vem
. Da primeira derivada em
:
Resposta
A equação diferencial é
com condições iniciais
e
.