Considere equação integral
phi(t)+integral0^t(t-x) phi(x) d x=sin (2 t)
Diferenciando duas vezes a equação integral dada, mostre que phi(t) satisfaz a equação diferencial
phi^prime prime(t)+phi(t)=-4 sin (2 t)
Além disso, mostre que as condicoes iniciais são phi(0)=0 e phi^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado diz que phi(t)+integral0^t(t-x)phi(x),dx=sin(2t). Isso é uma equação integral de Volterra de segunda espécie. Para resolver, vamos usar diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e transformar em uma equação diferencial.

Passo 2

Diferenciando a equação em relação a t e aplicando a regra de Leibniz temos:
ddtintegral0^t(t-x)phi(x),dx=integral0^tpartialpartial t[(t-x)phi(x)],dx+(t-t)phi(t)=integral0^tphi(x),dx
Logo, derivando ambos os lados:
phi'(t)+integral0^tphi(x),dx=2cos(2t)
Diferenciando mais uma vez e lembrando que
ddtintegral0^tphi(x),dx=phi(t),
obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
phi''(t)+phi(t)=-4sin(2t)

Passo 3

Para as condições iniciais, avalie em t=0: da equação original vem phi(0)=sin(0)=0. Da primeira derivada em t=0:
phi'(0)+integral0^0phi(x),dx=2cos(0)=2Rightarrowphi'(0)=2

Resposta

A equação diferencial é phi''(t)+phi(t)=-4sin(2t) com condições iniciais phi(0)=0 e phi'(0)=2.

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