Use transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema linear de valor inicial
x^prime=k x+q(t), x(0)=x0
é dada pela equação integral
x(t)=e^k t x0+integral0^t e^k(t-y) q(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais, pra mostrar que a solução da equação diferencial inicial
x^prime=k x + q(t), x(0)=x0
é igual a
x(t)=e^k t x0+integral0^t e^k(t-y) q(y) d y
Então, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação diferencial e chegar nessa expressão integral que representa a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo, $ t $, para o domínio da frequência, $ s $, facilitando a resolução de equações diferenciais. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
t

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada:
x^prime(t) = k x(t) + q(t)
Aplicando a Transformada de Laplace:
Lx^prime(t) = Lk x(t) + Lq(t)

Passo 4

Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada de $ x(t) $ é:
x(t)
Onde $ X(s) $ é a Transformada de Laplace de $ x(t) $, e $ x(0) = x_0 $ é a condição inicial.

Passo 5

Também sabemos que a Transformada de Laplace de $ k x(t) $ é simplesmente:
k x(t)
E chamamos a Transformada de Laplace de $ q(t) $ de $ Q(s) $:
Lk x(t) = k X(s)

Passo 6

Substituindo essas transformadas na equação original, temos:
s X(s) - x0 = k X(s) + Q(s)
Agora, vamos organizar os termos para resolver para $ X(s) $:
X(s)
s X(s) - k X(s) = x0 + Q(s)

Passo 7

Isolando $ X(s) $:
X(s)
Podemos separar essa fração:
X(s) = x0 + Q(s)s - k

Passo 8

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ x(t) $. Sabemos que:
x(t)
E, pela propriedade da convolução:
L^-11s - k = e^k t

Passo 9

Portanto, juntando tudo, temos:
x(t) = x0 e^k t + integral0^t e^k(t - y) q(y) dy

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
x(t)=e^k t x0+integral0^t e^k(t-y) q(y) d y

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