Use transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema linear de valor inicial
é dada pela equação integral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais, pra mostrar que a solução da equação diferencial inicial
é igual a
Então, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação diferencial e chegar nessa expressão integral que representa a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo, $ t $, para o domínio da frequência, $ s $, facilitando a resolução de equações diferenciais. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 4
Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada de $ x(t) $ é:
Onde $ X(s) $ é a Transformada de Laplace de $ x(t) $, e $ x(0) = x_0 $ é a condição inicial.
Passo 5
Também sabemos que a Transformada de Laplace de $ k x(t) $ é simplesmente:
E chamamos a Transformada de Laplace de $ q(t) $ de $ Q(s) $:
Passo 6
Substituindo essas transformadas na equação original, temos:
Agora, vamos organizar os termos para resolver para $ X(s) $:
Passo 7
Isolando $ X(s) $:
Podemos separar essa fração:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ x(t) $. Sabemos que:
E, pela propriedade da convolução:
Passo 9
Portanto, juntando tudo, temos:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é