Nos Problemas 1 a 8: c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t infty.
3) y^prime+y=t e^-t+1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem linear: y' + y = t e^-t + 1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante é mu(t)=e^integral1,dt=e^t. Multiplicamos a equação por e^t para obter
[(e^{t}y)" = e^{t}\bigl(t e^{-t} + 1\bigr).

Passo 3

O lado direito simplifica-se: e^tcdot t e^-t = t e e^tcdot1 = e^t. Assim
[(e^{t}y)" = t + e^{t}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
[e^{t}y = \int (t + e^{t}),dt = \frac{t^{2}}{2} + e^{t} + C.

Passo 5

Isolando y:
[y(t) = \frac{1}{e{t}}\Bigl(\frac{t{2}}{2} + e^{t} + C\Bigr) = \frac{t{2}}{2}e{-t} + 1 + C e^{-t}.

Passo 6

Para analisar o comportamento quando ttoinfty, note que t^2e^-tto0 e e^-tto0. Portanto,
y(t)to 1

Resposta

A solução geral é y(t)=t^22e^-t+1+Ce^-t. Quando ttoinfty, todas as parcelas com e^-t vão a zero, logo y(t)to1.

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