Nos Problemas 1 a 8: c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
3)
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Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem linear:
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
O fator integrante é
. Multiplicamos a equação por
para obter
[(e^{t}y)" = e^{t}\bigl(t e^{-t} + 1\bigr).
Passo 3
O lado direito simplifica-se:
e
. Assim
[(e^{t}y)" = t + e^{t}.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
[e^{t}y = \int (t + e^{t}),dt = \frac{t^{2}}{2} + e^{t} + C.
Passo 5
Isolando
:
[y(t) = \frac{1}{e{t}}\Bigl(\frac{t{2}}{2} + e^{t} + C\Bigr) = \frac{t{2}}{2}e{-t} + 1 + C e^{-t}.
Passo 6
Para analisar o comportamento quando
, note que
e
. Portanto,
Resposta
A solução geral é
. Quando
, todas as parcelas com
vão a zero, logo
.