Determine a área de superficie da parte da superficie z=x^2+4 y que fica acima da região triangular T no plano x y com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

A gente quer a área da superfície dada por z=f(x,y)=x^2+4y acima do triângulo T com vértices (0,0),(1,0),(1,1). O assunto aqui é área de superfície de gráfico de função de duas variáveis, e vamos usar a fórmula
S=integral duplaDraiz1+l(fxr)^2+l(fyr)^2,dA
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+4y: \ f_x=2x e f_y=4. Assim o integrando vira
raiz1+(2x)^2+4^2=raiz1+4x^2+16=raiz17+4x^2

Passo 3

Agora descrevemos a região T no plano xy. O triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1) pode ser descrito por 0≤x≤1 e 0≤y≤x (a reta y=x é a hipotenusa). Então o integral fica
S=integralx=0^1integraly=0^xraiz17+4x^2,dy,dx

Passo 4

Como o integrando não depende de y, fazemos a integral em y trivially e ganhamos um fator x:
S=integral0^1xraiz17+4x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral0^1xraiz17+4x^2,dx usamos a substituição u=17+4x^2, então du=8x,dx e x,dx=du/8. Quando x=0, u=17; quando x=1, u=21. O integral vira:
S=integral17^2118raizu,du=18cdot23l[u^3/2r]17^21=112l(21^3/2-17^3/2r)

Passo 6

Portanto, a área da superfície sobre T é dada por essa diferença de potências.

Resposta

S=21^3/2-17^3/212, que também pode ser escrita como 21raiz21-17raiz1712.

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