Determine a área de superficie da parte da superficie
que fica acima da região triangular
no plano
com vértices
e
.
Passo 1
A gente quer a área da superfície dada por z=f(x,y)=x^2+4y acima do triângulo T com vértices (0,0),(1,0),(1,1). O assunto aqui é área de superfície de gráfico de função de duas variáveis, e vamos usar a fórmula
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+4y: \ f_x=2x e f_y=4. Assim o integrando vira
Passo 3
Agora descrevemos a região T no plano xy. O triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1) pode ser descrito por 0≤x≤1 e 0≤y≤x (a reta y=x é a hipotenusa). Então o integral fica
Passo 4
Como o integrando não depende de y, fazemos a integral em y trivially e ganhamos um fator x:
Passo 5
Para calcular
usamos a substituição u=17+4x^2, então du=8x,dx e x,dx=du/8. Quando x=0, u=17; quando x=1, u=21. O integral vira:
Passo 6
Portanto, a área da superfície sobre T é dada por essa diferença de potências.