Considere a equação de Laplace em coordenadas polares para um disco de raio r=1. Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta), em que a temperatura na circunferência sejam:
u(1, \theta)= \begin{cases}\theta, & 0<\theta<\pi \\\ \pi-\theta, & \pi<\theta<2 \pi\end{cases}

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pedido: Encontrar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) para todo o disco de raio \(r=1\) (ou seja, para \(0\le r<1\) e \(0\le\theta<2\pi\)), solução da equação de Laplace em coordenadas polares, sujeita à condição de contorno dada na circunferência \(r=1\): \[u(1,\theta)= \begin{cases}\theta, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] \pi-\theta, & \pi<\theta<2\pi.\end{cases}
  • Informações relevantes:
    • A equação que queremos resolver é a equação de Laplace em coordenadas polares para função u(r,\theta)\]: \(\displaystyle u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
    • O domínio é o disco interior 0\le r<1 e \theta é a coordenada angular periódica de período 2\pi.
    • A condição de contorno é uma função f(\theta)=u(1,\theta) definida por partes no intervalo (0,2\pi).
    • Precisamos encontrar uma função harmónica (solução de Laplace) que seja regular em r=0 (não pode divergir no centro).]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem desenvolver ainda). Por que usar séries de Fourier e separação de variáveis.
  • Como a equação é linear, homogênea e o domínio é um disco circular, o método clássico é separar variáveis em coordenadas polares e expandir a condição de contorno em série de Fourier em \theta. Isso dá a forma geral da solução interior em potências de r multiplicadas por senos e cossenos de n\theta.
  • Resultado padrão (que vamos deduzir com calma): qualquer solução harmónica regular no centro tem a forma
u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\bigl(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr),
onde os coeficientes a_n,b_n são os coeficientes da série de Fourier da função f(\theta)=u(1,\theta).
  • Nos próximos passos eu mostro por que essa forma aparece (separação de variáveis), como calcular a_n,b_n e calculo explicitamente para a função f dada.

Passo 3

Derivação curta da forma geral da solução por separação de variáveis (aulas passo a passo).
  • Começamos da equação de Laplace em coordenadas polares:
u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
  • Supomos uma solução em produto: u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta). Substituindo,
R''(r)\Theta(\theta)+\frac{1}{r}R'(r)\Theta(\theta)+\frac{1}{r^2}R(r)\Theta''(\theta)=0.
  • Dividindo por R(r)\Theta(\theta) e multiplicando por r^2 obtemos
r^2\frac{R''(r)}{R(r)}+r\frac{R'(r)}{R(r)}+\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0.
  • Como a primeira parcela depende só de r e a segunda só de \theta, cada parcela deve ser igual a uma constante -n^2 (número real), levando às ODEs:
\Theta''(\theta)+n^2\Theta(\theta)=0,
r^2R''(r)+rR'(r)-n^2 R(r)=0.
  • As soluções angulares são combinações de \cos(n\theta) e \sin(n\theta). A equação radial é a equação de Bessel simplificada para índice n com soluções r^n e r^{-n}. Como queremos regularidade em r=0, descartamos r^{-n}. Para n=0 a solução radial regular é constante e \ln r não aparece porque descartamos singularidades.
  • Assim, a combinação linear geral (somando todos os modos n\ge0) dá a forma
u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\bigl(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr),
que coincide com a série de Fourier em \theta na circunferência r=1.

Passo 4

Expressão para os coeficientes de Fourier e aplicação ao contorno.
  • Para igualar a condição de contorno, fazemos r=1\) na série e obtemos para todo \(\theta\) \[f(\theta):=u(1,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr).
  • As fórmulas clássicas para os coeficientes (fórmulas de Fourier) são:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta,\qquad n\ge 1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta,\qquad n\ge 1.
  • Vamos calcular a_0,a_n,b_n com f(\theta) dado por partes:
f(\theta)=\begin{cases}\theta,&0<\theta<\pi,\\\ \pi-\theta,&\pi<\theta<2\pi.\end{cases}
(Observação: podemos estender f\] de modo contínuo nos pontos \(\theta=0,\pi,2\pi por valores convenientes, mas as integrais não são afetadas por valores em pontos isolados.)

Passo 5

Cálculo de a_0.
  • Calculemos
\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\theta\,d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\,d\theta.
  • Primeira integral:
\int_{0}^{\pi}\theta\,d\theta=\left[\frac{\theta^2}{2}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}.
  • Segunda integral:
\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\,d\theta=\pi(\,2\pi-\pi\,)-\left[\frac{\theta^2}{2}\right]_{\pi}^{2\pi} =\pi^2-\left(\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}\right) =\pi^2-\left(2\pi^2-\frac{\pi^2}{2}\right)=-\frac{\pi^2}{2}.
  • Somando as duas partes obtemos zero. Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0.

Passo 6

Cálculo de a_n (coeficientes dos cossenos). Integração por partes e uso da simetria.
  • Escrevemos
a_n=\frac{1}{\pi}\Biggl(\int_{0}^{\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\cos(n\theta)\,d\theta\Biggr).
  • Calcule a primeira integral por partes. Ponha u=\theta, dv=\cos(n\theta)\,d\theta. Então du=d\theta, v=\frac{1}{n}\sin(n\theta). Assim
\int_{0}^{\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta=\left.\frac{\theta}{n}\sin(n\theta)\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{1}{n}\sin(n\theta)\,d\theta.
  • O termo de fronteira vale \frac{\pi}{n}\sin(n\pi)-0=0 porque \sin(n\pi)=0. A integral restante é
-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(n\theta)\,d\theta=-\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}\cos(n\theta)\right]_0^\pi=\frac{1}{n^2}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr)=\frac{1}{n^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
  • Chame esse resultado de I_1:
I_1=\int_{0}^{\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta=\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
  • Agora a segunda integral. Façamos a mudança de variável t=\theta-\pi, de modo que \theta=t+\pi e t vai de 0 a \pi. Então
\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\cos(n\theta)\,d\theta=\int_{0}^{\pi}(-t)\cos(n(t+\pi))\,dt.
Como \cos(n(t+\pi))=(-1)^n\cos(nt), isso fica
\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\cos(n\theta)\,d\theta=(-1)^{n+1}\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt.
  • Mas a integral \int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt é exatamente I_1 (a variável de integração é só um nome). Logo a segunda integral vale
I_2=(-1)^{n+1}I_1=(-1)^{n+1}\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
  • Simplificando I_1+I_2: observe que I_2 algebraicamente dá o mesmo valor de I_1, então
I_1+I_2=2\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
  • Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot 2\frac{(-1)^n-1}{n^2}=\frac{2}{\pi n^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
  • Nota: para n par temos (-1)^n=1 e então a_n=0. Para n ímpar (-1)^n=-1 e então
a_n=\frac{2}{\pi n^2}(-2)=-\frac{4}{\pi n^2}\qquad\text{(para \(n\) ímpar).}í

Passo 7

Cálculo de b_n (coeficientes dos senos). Integração por partes e simetria.
  • Começamos com
b_n=\frac{1}{\pi}\Biggl(\int_{0}^{\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\sin(n\theta)\,d\theta\Biggr).
  • Calcule a primeira integral por partes: tome u=\theta, dv=\sin(n\theta)\,d\theta. Então du=d\theta, v=-\frac{1}{n}\cos(n\theta). Assim
\int_{0}^{\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta=\left.-\frac{\theta}{n}\cos(n\theta)\right|_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\frac{1}{n}\cos(n\theta)\,d\theta.
  • O termo de fronteira é -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi)+0=-\frac{\pi}{n}(-1)^n. A integral restante é \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\sin(n\theta)\big|_0^\pi=\frac{1}{n^2}(\sin(n\pi)-0)=0. Assim
J_1:=\int_{0}^{\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta=-\frac{\pi}{n}(-1)^n.
  • Para a segunda integral, novamente faça t=\theta-\pi. Com isso obtemos
\int_{\pi}^{2\pi}(\pi-\theta)\sin(n\theta)\,d\theta=\int_{0}^{\pi}(-t)\sin(n(t+\pi))\,dt.
Como \sin(n(t+\pi))=(-1)^n\sin(nt), a integral vira
(-1)^{n+1}\int_{0}^{\pi}t\sin(nt)\,dt.
  • Mas \int_{0}^{\pi}t\sin(nt)\,dt é exatamente J_1 (variável trocada), então a segunda integral vale
J_2=(-1)^{n+1}J_1=(-1)^{n+1}\bigl(-\frac{\pi}{n}(-1)^n\bigr)=\frac{\pi}{n}.
(esta simplificação é um pequeno truque algébrico: os sinais se combinam).
  • Agora some J_1+J_2:
J_1+J_2=-\frac{\pi}{n}(-1)^n+\frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Então
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Conclusão: para n par temos b_n=0. Para n ímpar (-1)^n=-1 e então
b_n=\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)\bigr)=\frac{2}{n}\qquad\text{(para \(n\) ímpar).}í

Passo 8

Resumo dos coeficientes e forma final da solução (juntando tudo).
  • Resumindo os resultados:
    • a_0=0.
    • Para n par: a_n=0 e b_n=0.
    • Para n ímpar (escrevendo n=2k+1 com k=0,1,2,\dots): a_{2k+1}=-\frac{4}{\pi(2k+1)^2},\qquad b_{2k+1}=\frac{2}{2k+1}.
  • Substituindo na forma geral u(r,\theta)=\sum_{n\ge1} r^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta) obtemos somente termos ímpares:
u(r,\theta)=\sum_{k=0}^{\infty} r^{2k+1}\left(-\frac{4}{\pi(2k+1)^2}\cos\bigl((2k+1)\theta\bigr)+\frac{2}{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr)\right).
  • Esta série converge uniformemente no disco compacto \{r\le R<1\} e corresponde à solução harmónica que coincide com a condição de contorno f(\theta) em r=1.

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{k=0}^{\infty} r^{2k+1}\left(-\frac{4}{\pi(2k+1)^2}\cos\bigl((2k+1)\theta\bigr)+\frac{2}{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr)\right).

Exercícios relacionados