Considere a equação de Laplace em coordenadas polares para um disco de raio r=1. Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta), em que a temperatura na circunferência sejam:
Pedido: Encontrar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) para todo o disco de raio \(r=1\) (ou seja, para \(0\le r<1\) e \(0\le\theta<2\pi\)), solução da equação de Laplace em coordenadas polares, sujeita à condição de contorno dada na circunferência \(r=1\):
\[u(1,\theta)= \begin{cases}\theta, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] \pi-\theta, & \pi<\theta<2\pi.\end{cases}
Informações relevantes:
A equação que queremos resolver é a equação de Laplace em coordenadas polares para função u(r,\theta)\]: \(\displaystyle u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
O domínio é o disco interior 0\le r<1 e \theta é a coordenada angular periódica de período 2\pi.
A condição de contorno é uma função f(\theta)=u(1,\theta) definida por partes no intervalo (0,2\pi).
Precisamos encontrar uma função harmónica (solução de Laplace) que seja regular em r=0 (não pode divergir no centro).]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem desenvolver ainda). Por que usar séries de Fourier e separação de variáveis.
Como a equação é linear, homogênea e o domínio é um disco circular, o método clássico é separar variáveis em coordenadas polares e expandir a condição de contorno em série de Fourier em \theta. Isso dá a forma geral da solução interior em potências de r multiplicadas por senos e cossenos de n\theta.
Resultado padrão (que vamos deduzir com calma): qualquer solução harmónica regular no centro tem a forma
onde os coeficientes a_n,b_n são os coeficientes da série de Fourier da função f(\theta)=u(1,\theta).
Nos próximos passos eu mostro por que essa forma aparece (separação de variáveis), como calcular a_n,b_n e calculo explicitamente para a função f dada.
Passo 3
Derivação curta da forma geral da solução por separação de variáveis (aulas passo a passo).
Começamos da equação de Laplace em coordenadas polares:
Como a primeira parcela depende só de r e a segunda só de \theta, cada parcela deve ser igual a uma constante -n^2 (número real), levando às ODEs:
\Theta''(\theta)+n^2\Theta(\theta)=0,
r^2R''(r)+rR'(r)-n^2 R(r)=0.
As soluções angulares são combinações de \cos(n\theta) e \sin(n\theta). A equação radial é a equação de Bessel simplificada para índice n com soluções r^n e r^{-n}. Como queremos regularidade em r=0, descartamos r^{-n}. Para n=0 a solução radial regular é constante e \ln r não aparece porque descartamos singularidades.
Assim, a combinação linear geral (somando todos os modos n\ge0) dá a forma
que coincide com a série de Fourier em \theta na circunferência r=1.
Passo 4
Expressão para os coeficientes de Fourier e aplicação ao contorno.
Para igualar a condição de contorno, fazemos r=1\) na série e obtemos para todo \(\theta\)
\[f(\theta):=u(1,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr).
As fórmulas clássicas para os coeficientes (fórmulas de Fourier) são:
(Observação: podemos estender f\] de modo contínuo nos pontos \(\theta=0,\pi,2\pi por valores convenientes, mas as integrais não são afetadas por valores em pontos isolados.)
O termo de fronteira é -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi)+0=-\frac{\pi}{n}(-1)^n. A integral restante é \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\sin(n\theta)\big|_0^\pi=\frac{1}{n^2}(\sin(n\pi)-0)=0. Assim
Esta série converge uniformemente no disco compacto \{r\le R<1\} e corresponde à solução harmónica que coincide com a condição de contorno f(\theta) em r=1.