Obter todas as soluções separadas da equação (isto é, todas as soluções da forma separável u(x,t)=X(x)T(t)).
Dentre as soluções separadas do item 1, determinar quais satisfazem também as condições de fronteira.
Explicar como, a partir das soluções separadas admissíveis, obter a solução do problema com a condição inicial dada, e obter explicitamente essa solução.
Passo 2
Método: separação de variáveis. Suponha uma solução separável não nula da forma
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
X(x)T'(t)=9X''(x)T(t).
Rearranjando e dividindo por 9X(x)T(t) (supondo X T\neq0):
\frac{T'(t)}{9T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação (escolhi o sinal -\lambda por conveniência, costumeiro em problemas de calor/eigenvalores). Assim obtemos as duas ODEs:
\text{(tempo)}\quad T'(t)=-9\lambda T(t),
\text{(espaço)}\quad X''(x)+\lambda X(x)=0.ç
Passo 3
Analisar as três classes de \lambda: \lambda<0, \lambda=0, \lambda>0. Para cada caso resolver X e aplicar as condições de fronteira X'(0)=0, X'(3)=0.
Caso A — \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação espacial fica
X''-\mu^2 X=0,
cuja solução geral é
X(x)=C_1 e^{\mu x}+C_2 e^{-\mu x}.
Derivada
X'(x)=\mu\big(C_1 e^{\mu x}-C_2 e^{-\mu x}\big).
Aplicando X'(0)=0 dá \mu(C_1-C_2)=0\Rightarrow C_1=C_2. Então
Impondo X'(3)=0 dá \mu\big(C_1 e^{3\mu}-C_2 e^{-3\mu}\big)=\mu C_1(e^{3\mu}-e^{-3\mu})=0. Como \mu>0 e e^{3\mu}-e^{-3\mu}\neq0, segue C_1=0. Logo X\equiv0. Conclusão: não há soluções separadas não-triviais com \lambda<0.
Caso B — \lambda=0. Equação espacial:
X''(x)=0.
Solução geral:
X(x)=A+Bx.
Derivada X'(x)=B. Impor X'(0)=0\Rightarrow B=0. Então X(x)=A (constante). Impor X'(3)=0 já satisfeito. Então há uma solução espacial não-trivial constante. A parte temporal para \lambda=0 é
T'(t)=0\Rightarrow T(t)=\text{const}.
Portanto, uma família de soluções separadas não-triviais com \lambda=0 é
u(x,t)=C\qquad(\text{constante no espaço e no tempo}).ç
Caso C — \lambda>0. Escreva \lambda=\kappa^2 com \kappa>0. Equação espacial:
Verificação das condições de fronteira. Já aplicámos X'(0)=X'(3)=0 na construção das autofunções espaciais, então cada modo encontrado satisfaz as condições de fronteira. Em particular:
Construção da solução geral do problema com condições de fronteira do tipo Neumann. Pelo princípio de superposição (equação linear) e pelo fato de que as funções \{\cos(n\pi x/3)\}_{n=0}^\infty formam uma base ortogonal (sistema de autovetores) para funções razoáveis em [0,3] com derivada zero nas bordas, a solução geral que satisfaz as fronteiras tem a forma de série de Fourier-cosseno
As integrais de \cos sobre um número inteiro de períodos são zero; mais diretamente, pelas ortogonalidades as duas funções cosseno têm média zero em [0,3]. Assim
Nota: verificando que \cos(3\pi x)=\cos\!\big(\tfrac{9\pi}{3}x\big) corresponde ao modo n=9. Assim a condição inicial já estava expressa exatamente em termos dos modos n=0,2,9.
Passo 8
Escrever a solução final juntando os modos não-nulos com seus decaimentos temporais:
Todas as soluções separadas: u(x,t)=C_0 (modo n=0) e u_n(x,t)=C_n\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t}, n\ge1.\n
Soluções que satisfazem as fronteiras: exatamente os modos acima (constante e cossenos), i.e. \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t}, n=0,1,2,\dots.\n
Solução do problema inicial: \displaystyle u(x,t)=5+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)e^{-4\pi^2 t}-6\cos(3\pi x)\,e^{-81\pi^2 t}.