Considere o problema de condução do calor
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=9 u_{x x}, \quad 0 \leq x \leq 3, t \geq 0 ; \\\ u_{x}(0, t)=0, u_{x}(3, t)=0, \quad t \geq 0 ; \\\ u(x, 0)=5+2 \cos \left(\frac{2 \pi}{3} x\right)-6 \cos (3 \pi x), \quad 0 \leq x \leq 3 . \end{array}\right.
Você deve:
  • Obter todas as soluções separadas da equação.
  • Determinar quais das soluções obtidas acima satisfazem também as condições de fronteira.
  • Explicar como obter a solução do problema colocado a partir das soluções separadas obtidas e obter esta solução.
Notas
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Total

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Equação e domínio:
u_{t}=9u_{xx},\qquad 0\le x\le 3,\\ t\ge 0.
  • Condições de fronteira (Neumann):
u_x(0,t)=0,\qquad u_x(3,t)=0,\qquad t\ge0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=5+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)-6\cos(3\pi x),\qquad 0\le x\le3.
O enunciado pede:
  1. Obter todas as soluções separadas da equação (isto é, todas as soluções da forma separável u(x,t)=X(x)T(t)).
  2. Dentre as soluções separadas do item 1, determinar quais satisfazem também as condições de fronteira.
  3. Explicar como, a partir das soluções separadas admissíveis, obter a solução do problema com a condição inicial dada, e obter explicitamente essa solução.

Passo 2

Método: separação de variáveis. Suponha uma solução separável não nula da forma
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
X(x)T'(t)=9X''(x)T(t).
Rearranjando e dividindo por 9X(x)T(t) (supondo X T\neq0):
\frac{T'(t)}{9T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação (escolhi o sinal -\lambda por conveniência, costumeiro em problemas de calor/eigenvalores). Assim obtemos as duas ODEs:
\text{(tempo)}\quad T'(t)=-9\lambda T(t),
\text{(espaço)}\quad X''(x)+\lambda X(x)=0.ç

Passo 3

Analisar as três classes de \lambda: \lambda<0, \lambda=0, \lambda>0. Para cada caso resolver X e aplicar as condições de fronteira X'(0)=0, X'(3)=0.
Caso A — \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação espacial fica
X''-\mu^2 X=0,
cuja solução geral é
X(x)=C_1 e^{\mu x}+C_2 e^{-\mu x}.
Derivada
X'(x)=\mu\big(C_1 e^{\mu x}-C_2 e^{-\mu x}\big).
Aplicando X'(0)=0 \mu(C_1-C_2)=0\Rightarrow C_1=C_2. Então
X(x)=C_1(e^{\mu x}+e^{-\mu x})=2C_1\operatorname{cosh}(\mu x).
Impondo X'(3)=0 \mu\big(C_1 e^{3\mu}-C_2 e^{-3\mu}\big)=\mu C_1(e^{3\mu}-e^{-3\mu})=0. Como \mu>0 e e^{3\mu}-e^{-3\mu}\neq0, segue C_1=0. Logo X\equiv0. Conclusão: não há soluções separadas não-triviais com \lambda<0.
Caso B — \lambda=0. Equação espacial:
X''(x)=0.
Solução geral:
X(x)=A+Bx.
Derivada X'(x)=B. Impor X'(0)=0\Rightarrow B=0. Então X(x)=A (constante). Impor X'(3)=0 já satisfeito. Então há uma solução espacial não-trivial constante. A parte temporal para \lambda=0 é
T'(t)=0\Rightarrow T(t)=\text{const}.
Portanto, uma família de soluções separadas não-triviais com \lambda=0 é
u(x,t)=C\qquad(\text{constante no espaço e no tempo}).ç
Caso C — \lambda>0. Escreva \lambda=\kappa^2 com \kappa>0. Equação espacial:
X''+\kappa^2 X=0,
solução geral
X(x)=A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x).
Derivada
X'(x)=-A\kappa\sin(\kappa x)+B\kappa\cos(\kappa x).
Impondo X'(0)=0 B\kappa=0\Rightarrow B=0. Assim X(x)=A\cos(\kappa x). Impor X'(3)=0
X'(3)=-A\kappa\sin(3\kappa)=0.
Para obter X não-trivial ( A\neq0) precisamos \sin(3\kappa)=0, ou seja
3\kappa = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Logo os valores permitidos são
\kappa_n=\frac{n\pi}{3},\qquad \lambda_n=\kappa_n^2=\left(\frac{n\pi}{3}\right)^2,\quad n=1,2,\dots
e os autovetores (autofunções) espaciais correspondentes são, a menos de constantes multiplicativas,
X_n(x)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right),\qquad n=1,2,\dots
Resumo dos casos espaciais:
  • Para \lambda<0: somente solução trivial X\equiv0.
  • Para \lambda=0: X_0(x)=1 (modo constante).
  • Para \lambda=\lambda_n=(n\pi/3)^2: X_n(x)=\cos(n\pi x/3), n\ge1.

Passo 4

Resolver a equação temporal para cada autovalor encontrado.
  • Para \lambda=0: T'(t)=0\Rightarrow T_0(t)=\text{const}. O modo n=0 dá solução separada
u_0(x,t)=A_0\cdot 1.
  • Para \lambda=\lambda_n=(n\pi/3)^2 ( n\ge1):
T_n'(t)=-9\lambda_n T_n(t)=-9\left(\frac{n\pi}{3}\right)^2 T_n(t).
Simplificando 9\left(\frac{n\pi}{3}\right)^2 = n^2\pi^2, logo
T_n(t)=C_n e^{-n^2\pi^2 t}.
Portanto as soluções separadas não-triviais associadas são
u_n(x,t)=C_n\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)\,e^{-n^2\pi^2 t},\qquad n=1,2,\dots
Assim todas as soluções separadas (não-triviais) da PDE são:
  • Modo constante: u_0(x,t)=C_0.
  • Modos n\ge1: u_n(x,t)=C_n\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t}.

Passo 5

Verificação das condições de fronteira. Já aplicámos X'(0)=X'(3)=0 na construção das autofunções espaciais, então cada modo encontrado satisfaz as condições de fronteira. Em particular:
\frac{\partial}{\partial x}\bigg[\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)\bigg]\Big|_{x=0}= -\frac{n\pi}{3}\sin(0)=0,
\frac{\partial}{\partial x}\bigg[\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)\bigg]\Big|_{x=3}= -\frac{n\pi}{3}\sin(n\pi)=0.
Logo os modos n=0,1,2,\dots satisfazem as condições de fronteira (modos com seno não satisfazem, e por isso não aparecem).
Conclui-se:
  • As soluções separadas que satisfazem as condições de fronteira são exatamente os modos
\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t},\quad n=0,1,2,\dots
(com n=0 significando a constante).

Passo 6

Construção da solução geral do problema com condições de fronteira do tipo Neumann. Pelo princípio de superposição (equação linear) e pelo fato de que as funções \{\cos(n\pi x/3)\}_{n=0}^\infty formam uma base ortogonal (sistema de autovetores) para funções razoáveis em [0,3] com derivada zero nas bordas, a solução geral que satisfaz as fronteiras tem a forma de série de Fourier-cosseno
u(x,t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right) e^{-n^2\pi^2 t},
onde os coeficientes A_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x) via expansão em série de cossenos. As fórmulas padrão (para L=3) são:
A_0=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} f(x)\,dx, \qquad A_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)\,dx,\quad n\ge1.
Estas fórmulas vêm da ortogonalidade
\int_0^3 \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)\cos\!\left(\frac{m\pi}{3}x\right)dx= \begin{cases} 3,& n=m=0,\\[4pt] \frac{3}{2},& n=m\ge1,\\[4pt] 0,& n\ne m. \end{cases}]

Passo 7

Aplicar a fórmula dos coeficientes ao caso particular f(x)=5+2\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}x\right)-6\cos(3\pi x).
Calcular A_0:
A_0=\frac{1}{3}\int_0^3 \bigg(5+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)-6\cos(3\pi x)\bigg)\,dx.
As integrais de \cos sobre um número inteiro de períodos são zero; mais diretamente, pelas ortogonalidades as duas funções cosseno têm média zero em [0,3]. Assim
A_0=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot 3=5.
Calcular A_n para n\ge1. Usando linearidade:
A_n=\frac{2}{3}\left(5\int_0^3\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)dx +2\int_0^3\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)dx -6\int_0^3\cos(3\pi x)\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}x\right)dx\right).
Pelas ortogonalidades, somente os termos com mesmo índice dão contribuição não-nula:
  • O produto \cos\!\big(\tfrac{2\pi}{3}x\big)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{3}x\big) tem integral zero, exceto quando n=2; nesse caso a integral é 3/2.
  • O produto \cos(3\pi x)=\cos\!\big(\tfrac{9\pi}{3}x\big) tem integral zero, exceto quando n=9; nesse caso a integral é 3/2.
  • O termo com 5 multiplica uma integral de \cos(n\pi x/3) que é zero para todo n\ge1.
Portanto:
  • Para n=2:
A_2=\frac{2}{3}\left(2\cdot\frac{3}{2}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3=2.
  • Para n=9:
A_9=\frac{2}{3}\left(-6\cdot\frac{3}{2}\right)=\frac{2}{3}\cdot(-9)=-6.
  • Para todo n\ge1 diferente de 2 e 9, A_n=0.
Nota: verificando que \cos(3\pi x)=\cos\!\big(\tfrac{9\pi}{3}x\big) corresponde ao modo n=9. Assim a condição inicial já estava expressa exatamente em termos dos modos n=0,2,9.

Passo 8

Escrever a solução final juntando os modos não-nulos com seus decaimentos temporais:
u(x,t)=A_0 + A_2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)e^{-2^2\pi^2 t} + A_9\cos\!\left(\frac{9\pi}{3}x\right)e^{-9^2\pi^2 t}.
Substituindo os valores A_0=5, A_2=2, A_9=-6 e simplificando \cos\!\big(\tfrac{9\pi}{3}x\big)=\cos(3\pi x), obtemos
u(x,t)=5+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)e^{-4\pi^2 t}-6\cos(3\pi x)\,e^{-81\pi^2 t}.

Resposta

Todas as soluções separadas: u(x,t)=C_0 (modo n=0) e u_n(x,t)=C_n\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t}, n\ge1.\n
Soluções que satisfazem as fronteiras: exatamente os modos acima (constante e cossenos), i.e. \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}x\right)e^{-n^2\pi^2 t}, n=0,1,2,\dots.\n
Solução do problema inicial: \displaystyle u(x,t)=5+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}x\right)e^{-4\pi^2 t}-6\cos(3\pi x)\,e^{-81\pi^2 t}.

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