Considere a equação
i. Mostre que a equação não é exata.
ii. Calcule um fator integrante que a torna exata.
iii. Resolva a equação diferencial exata.
ii. Calcule um fator integrante que a torna exata.
iii. Resolva a equação diferencial exata.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
As perguntas são:
i. Mostrar que a equação não é exata.
ii. Calcular um fator integrante que a torne exata.
iii. Resolver a equação diferencial exata (ou seja, encontrar a solução implícita geral).
i. Mostrar que a equação não é exata.
ii. Calcular um fator integrante que a torne exata.
iii. Resolver a equação diferencial exata (ou seja, encontrar a solução implícita geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - Está explícito que
, então podemos dividir por quando for conveniente.
Passo 2
Definição e teste de exatidão (o que significa “exata” e como testar).
- Uma equação
é exata se existe uma função potencial tal que e . Um teste prático é verificar se
- Vamos calcular as derivadas parciais de
e .
Calculemos
e
:
Compare:
Como essas duas expressões não são iguais em geral (por exemplo dependem de
e
de maneiras diferentes), a equação original NÃO é exata.
Passo 3
Estratégia para encontrar um fator integrante (ideia e fórmulas usadas).
- Um fator integrante
é uma função que, multiplicando a equação original, torna-a exata: exata. - Métodos simples procuram
dependendo só de ou só de , ou uma combinação monomial . As fórmulas usadas habitualmente são: - Se
é função apenas de , então existe . - Se
é função apenas de , então existe .
- Se
- Aqui temos a informação adicional útil
, então podemos dividir a equação por sem problemas e trabalhar com a forma simplificada:
Fica mais simples testar fatores integrantes nessa forma.
Passo 4
Aplicar o teste de fator integrante na forma simplificada.
- Após dividir por
(válido porque ), defina
- Calcule
- Verifique a expressão
Essa expressão depende apenas de
. Logo existe um fator integrante que depende só de
para a equação simplificada. Então
Calcule essa integral: com
,
, obtemos
Portanto
Para simplificar, e lembrando que podemos trabalhar por partes onde
, escolhemos
Passo 5
Relacionar o fator integrante encontrado para a forma simplificada com a equação original.
- Lembre que encontramos
que torna exata a equação após divisão por . Para a equação original, o fator integrante correspondente é
- Verifiquemos multiplicando a equação original por
:
Assim a equação transformada é
- Calcule as derivadas parciais desta forma:
do coeficiente de é e do coeficiente de é . São iguais, logo a equação é exata. Portanto é um fator integrante válido para a equação original.
Passo 6
Resolver a equação exata resultante (encontrar a função potencial).
- Para a forma exata obtida, escrevemos
com
Procuramos
tal que
- Integramos
em relação a :
Para integrar
, faça divisão em partes (ou decomposição):
procuramos constantes e
tais que
procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
:
. Igualando coeficientes:
. E
.
Logo
Logo
Integre:
Portanto
Passo 7
Determinar a função de
e escrever a solução implícita.
- Usamos a condição
. Mas
- Então a função potencial é
A solução implícita geral da equação (após multiplicar por fator integrante) é
. Eliminando
escrevemos a solução geral como
onde
é constante arbitrária. (Pode-se multiplicar ambos os lados por
e escrever
se preferir.)
Resposta
i) A equação não é exata.
ii) Um fator integrante é .
iii) A solução implícita geral é , com
constante.
ii) Um fator integrante é
iii) A solução implícita geral é