Considere a equação
\left(2 y^{2}+x y^{2}\right) d x+\left(2 x y^{2}+y^{2}\right) d y=0 \quad y>0
i. Mostre que a equação não é exata.
ii. Calcule um fator integrante que a torna exata.
iii. Resolva a equação diferencial exata.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(2 y^{2}+x y^{2}\right) d x+\left(2 x y^{2}+y^{2}\right) d y=0,\qquad y>0.
As perguntas são:
i. Mostrar que a equação não é exata.
ii. Calcular um fator integrante que a torne exata.
iii. Resolver a equação diferencial exata (ou seja, encontrar a solução implícita geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de d x é M(x,y)=2y^{2}+x y^{2}=y^{2}(2+x).
  • O coeficiente de d y é N(x,y)=2x y^{2}+y^{2}=y^{2}(2x+1).
  • Está explícito que y>0, então podemos dividir por y^{2} quando for conveniente.

Passo 2

Definição e teste de exatidão (o que significa “exata” e como testar).
  • Uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  • Vamos calcular as derivadas parciais de M e N.
Calculemos \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
M(x,y)=y^{2}(2+x)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y}=2y(2+x).
N(x,y)=y^{2}(2x+1)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y^{2}.
Compare:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y(2+x),\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2y^{2}.
Como essas duas expressões não são iguais em geral (por exemplo dependem de x e y de maneiras diferentes), a equação original NÃO é exata.

Passo 3

Estratégia para encontrar um fator integrante (ideia e fórmulas usadas).
  • Um fator integrante \mu é uma função que, multiplicando a equação original, torna-a exata: \mu M\,dx + \mu N\,dy exata.
  • Métodos simples procuram \mu dependendo só de x ou só de y, ou uma combinação monomial \mu(x,y)=x^{m}y^{n}. As fórmulas usadas habitualmente são:
    • Se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} é função apenas de x, então existe \mu(x)=\exp\!\Big(\int \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\,dx\Big).
    • Se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} é função apenas de y, então existe \mu(y)=\exp\!\Big(\int \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\,dy\Big).
  • Aqui temos a informação adicional útil y>0, então podemos dividir a equação por y^{2} sem problemas e trabalhar com a forma simplificada:
(2+x)\,dx+(2x+1)\,dy=0.
Fica mais simples testar fatores integrantes nessa forma.

Passo 4

Aplicar o teste de fator integrante na forma simplificada.
  • Após dividir por y^{2} (válido porque y>0), defina
\widetilde M(x,y)=2+x,\qquad \widetilde N(x,y)=2x+1.
  • Calcule
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=2.
  • Verifique a expressão
\frac{\partial \widetilde M/\partial y-\partial \widetilde N/\partial x}{\widetilde N}=\frac{0-2}{2x+1}=-\frac{2}{2x+1}.
Essa expressão depende apenas de x. Logo existe um fator integrante que depende só de x para a equação simplificada. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{2x+1}\,dx\right).
Calcule essa integral: com u=2x+1, du=2dx, obtemos
\int -\frac{2}{2x+1}\,dx=-\int\frac{1}{u}\,du=-\ln|u|=-\ln|2x+1|.
Portanto
\mu(x)=e^{-\ln|2x+1|}=\frac{1}{|2x+1|}.
Para simplificar, e lembrando que podemos trabalhar por partes onde 2x+1\neq0, escolhemos
\mu(x)=\frac{1}{2x+1}.

Passo 5

Relacionar o fator integrante encontrado para a forma simplificada com a equação original.
  • Lembre que encontramos \mu(x) que torna exata a equação após divisão por y^{2}. Para a equação original, o fator integrante correspondente é
\mu_{\text{total}}(x,y)=\frac{\mu(x)}{y^{2}}=\frac{1}{(2x+1)\,y^{2}}.
  • Verifiquemos multiplicando a equação original por \mu_{\text{total}}:
\mu_{\text{total}}M=\frac{y^{2}(2+x)}{(2x+1)y^{2}}=\frac{2+x}{2x+1},\qquad \mu_{\text{total}}N=\frac{y^{2}(2x+1)}{(2x+1)y^{2}}=1.
Assim a equação transformada é
\frac{2+x}{2x+1}\,dx+1\cdot dy=0.
  • Calcule as derivadas parciais desta forma: \partial/\partial y do coeficiente de dx é 0 e \partial/\partial x do coeficiente de dy é 0. São iguais, logo a equação é exata. Portanto \mu_{\text{total}}(x,y)=\dfrac{1}{(2x+1)y^{2}} é um fator integrante válido para a equação original.

Passo 6

Resolver a equação exata resultante (encontrar a função potencial).
  • Para a forma exata obtida, escrevemos \widetilde M_2(x,y)\,dx + \widetilde N_2(x,y)\,dy = 0 com
\widetilde M_2(x,y)=\frac{x+2}{2x+1},\qquad \widetilde N_2(x,y)=1.
Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\frac{x+2}{2x+1},\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=1.
  • Integramos \partial \Phi/\partial x em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \frac{x+2}{2x+1}\,dx + h(y).
Para integrar \dfrac{x+2}{2x+1}, faça divisão em partes (ou decomposição):
procuramos constantes A e B tais que
\frac{x+2}{2x+1}=A+\frac{B}{2x+1}.
Multiplicando ambos os lados por 2x+1: x+2=A(2x+1)+B. Igualando coeficientes: 2A=1\Rightarrow A=\tfrac12. E A+B=2\Rightarrow B=2-A=2-\tfrac12=\tfrac32.
Logo
\frac{x+2}{2x+1}=\frac12 + \frac{3/2}{2x+1}.
Integre:
\int \frac{x+2}{2x+1}\,dx=\int \frac12\,dx + \int \frac{3/2}{2x+1}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln|2x+1| = \frac{x}{2}+\frac{3}{4}\ln|2x+1|.
Portanto
\Phi(x,y)=\frac{x}{2}+\frac{3}{4}\ln|2x+1|+h(y).

Passo 7

Determinar a função de y e escrever a solução implícita.
  • Usamos a condição \partial\Phi/\partial y=\widetilde N_2(x,y)=1. Mas
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y)=1 \quad\Rightarrow\quad h(y)=y + C_0.
  • Então a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x}{2}+\frac{3}{4}\ln|2x+1|+y + C_0.
A solução implícita geral da equação (após multiplicar por fator integrante) é \Phi(x,y)=\text{const}. Eliminando C_0 escrevemos a solução geral como
\frac{x}{2}+\frac{3}{4}\ln|2x+1|+y=C,
onde C é constante arbitrária. (Pode-se multiplicar ambos os lados por 4 e escrever 2x+3\ln|2x+1|+4y=C' se preferir.)

Resposta

i) A equação não é exata.
ii) Um fator integrante é \displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{(2x+1)\,y^{2}}.
iii) A solução implícita geral é \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{3}{4}\ln|2x+1|+y=C, com C constante.

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