Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre as propriedades da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizado em cada passo.
Pergunta-se: resolver a equação por Transformada de Laplace e obter y(t).
Informações relevantes fornecidas:
Equação diferencial linear de segunda ordem com termos forçantes 6(t-3) e \delta(t).
Condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3.
A presença de \delta(t) significa que existe um impulso em t=0; essa força pode produzir um salto na derivada y' (vou tratar esse ponto mais adiante, explicando e verificando a compatibilidade com a solução).
Passo 2
Vou aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. As propriedades da tabela que vou usar agora são:
Propriedade da transformada da segunda derivada: \displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Propriedade da transformada da primeira derivada: \displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\}=s\,Y(s)-y(0).
Quanto a y'(0): o cálculo direto da solução dá y'(0+)=4. Isso é coerente com a presença do impulso \delta(t): integrando a equação original no intervalo [0^{-},0^{+}] obtemos o salto na derivada
Se a condição fornecida y'(0)=3 foi a derivada imediatamente antes do impulso y'(0^-)=3, então após o impulso tem-se y'(0^+)=3+1=4, exatamente o valor que a solução encontrou. Ou seja, a solução obtida é compatível com a equação com \delta(t) em t=0 e com a condição dada interpretada como o valor à esquerda do instante 0.
Resposta
y(t)=-4 + t + e^{-3t}\!\left(6\operatorname{cosh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)+7\sqrt{3}\,\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)\right)