Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre as propriedades da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizado em cada passo.
y^{\prime \prime}+6 y \prime+6 y=6(t-3) + \delta(t) ; \quad y(0)=2, y'(0)=3 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''+6y'+6y=6(t-3)+\delta(t),\qquad y(0)=2,\\ y'(0)=3.
Pergunta-se: resolver a equação por Transformada de Laplace e obter y(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com termos forçantes 6(t-3) e \delta(t).
  • Condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3.
  • A presença de \delta(t) significa que existe um impulso em t=0; essa força pode produzir um salto na derivada y' (vou tratar esse ponto mais adiante, explicando e verificando a compatibilidade com a solução).

Passo 2

Vou aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. As propriedades da tabela que vou usar agora são:
  • Propriedade da transformada da segunda derivada: \displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • Propriedade da transformada da primeira derivada: \displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\}=s\,Y(s)-y(0).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} e \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
  • \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
Aplicando a transformada à equação:
\mathcal{L}\{y''\} +6\mathcal{L}\{y'\} +6\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{6(t-3)\}+\mathcal{L}\{\delta(t)\}.
Usando as fórmulas indicadas, com Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e as condições iniciais y(0)=2,\\ y'(0)=3, obtemos (substituindo termo a termo):
\big(s^{2}Y - s\cdot 2 - 3\big) +6\big(sY - 2\big) +6Y = 6\mathcal{L}\{t-3\}+1.

Passo 3

Calculo da transformada do lado direito e organização da equação:
  • \mathcal{L}\{t-3\}=\mathcal{L}\{t\}-3\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s^{2}}-\dfrac{3}{s}.
    Logo \mathcal{L}\{6(t-3)\}=\dfrac{6}{s^{2}}-\dfrac{18}{s}.
  • Substituindo tudo na equação e somando os termos iniciais:
\big(s^{2}+6s+6\big)Y(s) - (2s+15) = \frac{6}{s^{2}}-\frac{18}{s}+1.
Aqui usei: os termos -s\cdot2 -3 (da segunda derivada) e -6\cdot 2=-12 (da primeira derivada) somam -2s-15 no lado esquerdo.
Passando o termo -(2s+15) para o lado direito:
\big(s^{2}+6s+6\big)Y(s) = 2s+15 +\frac{6}{s^{2}}-\frac{18}{s}+1 = 2s+16 -\frac{18}{s}+\frac{6}{s^{2}}.
Portanto
Y(s)=\frac{2s+16 -\dfrac{18}{s} +\dfrac{6}{s^{2}}}{s^{2}+6s+6}.
Para manipular racionalmente, ponho tudo sobre o mesmo denominador s^{2}(s^{2}+6s+6). Multiplicando numerador e denominador por s^{2} tenho:
Y(s)=\frac{2s^{3}+16s^{2}-18s+6}{s^{2}\big(s^{2}+6s+6\big)}.

Passo 4

Agora faço uma decomposição em frações parciais na forma
Y(s)=\frac{As+B}{s^{2}+6s+6}+\frac{C}{s}+\frac{D}{s^{2}}.
Multiplicando por s^{2}(s^{2}+6s+6)\) e igualando polinômios: \[(As+B)s^{2}+C s(s^{2}+6s+6)+D(s^{2}+6s+6)=2s^{3}+16s^{2}-18s+6.
Desenvolvendo e agrupando coeficientes obtemos o sistema (coeficientes de s^{3},s^{2},s,\,constante):
\begin{cases} A+C=2,\\[4pt] B+6C+D=16,\\[4pt] 6C+6D=-18,\\[4pt] 6D=6. \end{cases}
Da última equação 6D=6\] vem \(D=1. Substituindo em 6C+6D=-18 6C+6=-18\Rightarrow 6C=-24\Rightarrow C=-4.
Da primeira equação A+C=2\Rightarrow A=2-C=2-(-4)=6.
Da segunda B+6C+D=16\Rightarrow B+6(-4)+1=16\Rightarrow B-24+1=16\Rightarrow B=39.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{6s+39}{s^{2}+6s+6}-\frac{4}{s}+\frac{1}{s^{2}}.]

Passo 5

Agora farei a transformada inversa termo a termo. Primeiro, observo que
s^{2}+6s+6=(s+3)^{2}-3.
Defino \alpha=\sqrt{3}. As fórmulas da tabela que uso são:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}-b^{2}}\right\}=e^{-a t}\operatorname{cosh}(bt).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}-b^{2}}\right\}=\dfrac{1}{b}e^{-a t}\operatorname{sinh}(bt).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
Decomponho o numerador da primeira fração:
6s+39 = 6(s+3) +21.
Logo
\frac{6s+39}{s^{2}+6s+6}=6\cdot\frac{s+3}{(s+3)^{2}-\alpha^{2}}+21\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}-\alpha^{2}}.
Aplicando as inversas das fórmulas acima:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+3}{(s+3)^{2}-\alpha^{2}}\right\}=e^{-3t}\operatorname{cosh}(\alpha t).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+3)^{2}-\alpha^{2}}\right\}=\dfrac{1}{\alpha}e^{-3t}\operatorname{sinh}(\alpha t).
Assim a inversa de Y(s) é
y(t)= -4\underbrace{\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}}_{=1}+ \underbrace{\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}}_{=t} + e^{-3t}\Big(6\operatorname{cosh}(\alpha t) + \frac{21}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha t)\Big).
Portanto, lembrando \alpha=\sqrt{3},
y(t)=-4 + t + e^{-3t}\!\left(6\operatorname{cosh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)+\frac{21}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)\right).
Pode-se simplificar \dfrac{21}{\sqrt{3}}=7\sqrt{3}, obtendo a forma mais compacta
y(t)=-4 + t + e^{-3t}\!\left(6\operatorname{cosh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)+7\sqrt{3}\,\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)\right).

Passo 6

Verificação e comentário sobre o impulso \delta(t):
  • Verifico y(0): usando y(0)=-4+0 + (6+0)=2, confirma y(0)=2.
  • Quanto a y'(0): o cálculo direto da solução dá y'(0+)=4. Isso é coerente com a presença do impulso \delta(t): integrando a equação original no intervalo [0^{-},0^{+}] obtemos o salto na derivada
y'(0^{+})-y'(0^{-})=\int_{0^{-}}^{0^{+}}\delta(t)\,dt=1.
Se a condição fornecida y'(0)=3 foi a derivada imediatamente antes do impulso y'(0^-)=3, então após o impulso tem-se y'(0^+)=3+1=4, exatamente o valor que a solução encontrou. Ou seja, a solução obtida é compatível com a equação com \delta(t) em t=0 e com a condição dada interpretada como o valor à esquerda do instante 0.

Resposta

y(t)=-4 + t + e^{-3t}\!\left(6\operatorname{cosh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)+7\sqrt{3}\,\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{3}\,t\big)\right)

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