Considere a equação:
Resolva usando transformada de Laplace (dica: observe que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes e condições iniciais:
O que o problema pede: encontrar a solução
para
usando transformada de Laplace. Todas as constantes e funções fornecidas acima são relevantes para aplicar as propriedades da transformada.
Passo 2
Rápida revisão (útil para a prova) das propriedades de Laplace que vamos usar:
- A transformada de Laplace de uma função
é . - Para derivadas, vale (supondo existência das transformadas):
onde
.
- Teorema do deslocamento (shift): se
, então . - Transformada conhecida:
para inteiro . Em particular . - Fórmula inversa útil:
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando
, usamos as fórmulas das derivadas com as condições iniciais
,
,
.
Calcule cada termo:
Passo 4
Transforme o lado direito
. Como
, pelo deslocamento com
temos
Passo 5
Agora junte tudo: aplicando
na equação obtemos
Agrupando os termos que têm
e os termos independentes:
Passo 6
Isolando
:
Observe a dica do enunciado: o denominador é
, pois
Então podemos escrever
Passo 7
Simplifique o segundo quociente. Faça a substituição conveniente
(muito útil para organizar potências de
). Então
e
Assim
Logo, combinando com o primeiro termo,
Passo 8
Aplique a transformada inversa termo a termo usando a fórmula
:
Somando os três termos obtemos a solução no tempo:
Passo 9
Checagem rápida (para ganhar confiança antes da prova): em
temos
(confere), e a forma com
e potências de
dá funções fáceis de derivar para verificar
e
(pode-se diferenciar se quiser confirmar). Tudo compatível com as condições iniciais.