Considere a equação:
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=t e^{-t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-1 .
Resolva usando variação de parâmetros.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes e condições iniciais:
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+y = t e^{-t}, \qquad y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=-1.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O operador linear associado é L[y]=y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+y.
  • O termo forçante (lado direito) é g(t)=t e^{-t}.
  • As condições iniciais em t=0 são y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=-1.

Passo 2

Encontrar a solução geral do problema homogêneo L[y]=0.
Escrevemos a equação característica associada:
r^{3}+3r^{2}+3r+1=0.
Note que o polinômio é (r+1)^3, porque (r+1)^3 = r^3 + 3r^2 + 3r + 1. Logo a raiz r=-1 tem multiplicidade 3.
Para uma raiz real de multiplicidade 3 em equações com coeficientes constantes, as soluções fundamentais são
y_1(t)=e^{-t},\qquad y_2(t)=t e^{-t},\qquad y_3(t)=t^2 e^{-t}.
Assim a solução geral do homogêneo é
y_h(t) = \big(C_0 + C_1 t + C_2 t^2\big) e^{-t},
onde C_0,C_1,C_2 são constantes.

Passo 3

Explicar a ideia da variação de parâmetros para ordem três e montar as equações a resolver.
No método de variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)+u_3(t)y_3(t),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para fixar essas funções impomos as condições auxiliares (padrão para variação de parâmetros de ordem 3): \[\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)+u_3'(t)y_3(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)+u_3'(t)y_3'(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1''(t)+u_2'(t)y_2''(t)+u_3'(t)y_3''(t)=g(t), \end{cases}
onde g(t)=t e^{-t}\]. Essas três equações determinam \(u_1',u_2',u_3'; depois integra-se para obter u_i.]

Passo 4

Calcular as derivadas das soluções fundamentais e simplificar o sistema dividindo por e^{-t}.
As funções fundamentais e suas derivadas são (sempre escrevendo cada termo em fator e^{-t}):
y_1(t)=e^{-t},\quad y_1'(t)=-e^{-t},\quad y_1''(t)=e^{-t}.
y_2(t)=t e^{-t},\quad y_2'(t)=(1-t)e^{-t},\quad y_2''(t)=(t-2)e^{-t}.
y_3(t)=t^2 e^{-t},\quad y_3'(t)=(2t-t^2)e^{-t},\quad y_3''(t)=(t^2-4t+2)e^{-t}.
Como e^{-t}\neq0, podemos dividir as três equações do sistema por e^{-t} e trabalhar com os polinômios que sobram. Chamando a(t)=u_1'(t), b(t)=u_2'(t), c(t)=u_3'(t), obtemos o sistema em termos de a,b,c:
\begin{cases} a + b\,t + c\,t^2 = 0,\\[4pt] - a + b(1-t) + c(2t-t^2) = 0,\\[4pt] a + b(t-2) + c(t^2-4t+2) = t. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para a(t),b(t),c(t).
Começamos isolando a a partir da primeira equação:
a = -b\,t - c\,t^2.
Substituímos na segunda equação:
-(-b t - c t^2) + b(1-t) + c(2t-t^2)=0.
Isso simplifica a:
b + 2c t = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2c t.
Usando b=-2c t na expressão de a:
a = -(-2c t) t - c t^2 = 2c t^2 - c t^2 = c t^2.
Agora substituímos a e b na terceira equação:
c t^2 + (-2c t)(t-2) + c(t^2-4t+2) = t.
Calculando os termos, quase tudo cancela e sobra
2c = t \quad\Rightarrow\quad c = \frac{t}{2}.
Então
b = -2c t = -2\cdot\frac{t}{2}\cdot t = -t^2, \qquad a = c t^2 = \frac{t}{2}\,t^2 = \frac{t^3}{2}.
Portanto
u_1'(t)=\frac{t^3}{2},\qquad u_2'(t)=-t^2,\qquad u_3'(t)=\frac{t}{2}.

Passo 6

Integrar para obter u_1,u_2,u_3 e construir y_p.
Integramos cada derivada (sendo possíveis constantes de integração absorvíveis pela solução homogênea, podemos escolher a antiderivada particular sem constantes):
u_1(t)=\int \frac{t^3}{2}\,dt = \frac{t^4}{8}, \qquad u_2(t)=\int -t^2\,dt = -\frac{t^3}{3}, \qquad u_3(t)=\int \frac{t}{2}\,dt = \frac{t^2}{4}.
Agora a solução particular é
\begin{aligned} y_p(t) &= u_1(t)y_1(t) + u_2(t)y_2(t) + u_3(t)y_3(t)\\[4pt] &= \frac{t^4}{8}e^{-t} - \frac{t^3}{3}\cdot t e^{-t} + \frac{t^2}{4}\cdot t^2 e^{-t}. \end{aligned}
Simplificando os termos (todos com fator e^{-t}):
y_p(t) = e^{-t}\,t^4\!\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) = e^{-t}\,t^4\!\left(\frac{1}{24}\right) = \frac{t^4}{24}e^{-t}.]

Passo 7

Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
A solução geral é soma do homogêneo com a particular:
y(t) = \big(C_0 + C_1 t + C_2 t^2\big)e^{-t} + \frac{t^4}{24}e^{-t} = e^{-t}\Big(C_0 + C_1 t + C_2 t^2 + \frac{t^4}{24}\Big).
Para aplicar as condições iniciais é conveniente escrever y(t)=e^{-t}z(t) com
z(t)=C_0 + C_1 t + C_2 t^2 + \frac{t^4}{24}.
Calculamos z e suas derivadas em t=0:
z(0)=C_0,\qquad z'(t)=C_1+2C_2 t + \frac{t^3}{6},\quad z'(0)=C_1,
z''(t)=2C_2 + \frac{t^2}{2},\quad z''(0)=2C_2.
Usamos as fórmulas (derivadas de y=e^{-t}z):
y'(0)=z'(0)-z(0),\qquad y''(0)=z''(0)-2z'(0)+z(0).
Aplicando as condições:
  • y(0)=1 z(0)=C_0=1.
  • y'(0)=0 C_1 - C_0 = 0\Rightarrow C_1= C_0 = 1.
  • y''(0)=-1 2C_2 -2C_1 + C_0 = -1. Substituindo C_0=C_1=1:
2C_2 -2\cdot1 +1 = -1 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 -1 = -1 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Portanto C_0=1,\;C_1=1,\;C_2=0.
Substituindo na solução geral:
y(t) = e^{-t}\Big(1 + t + \frac{t^4}{24}\Big).

Resposta

y(t)=e^{-t}\!\left(1+t+\frac{t^{4}}{24}\right)

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