Explicar a ideia da variação de parâmetros para ordem três e montar as equações a resolver.
No método de variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)+u_3(t)y_3(t),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para fixar essas funções impomos as condições auxiliares (padrão para variação de parâmetros de ordem 3):
\[\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)+u_3'(t)y_3(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)+u_3'(t)y_3'(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1''(t)+u_2'(t)y_2''(t)+u_3'(t)y_3''(t)=g(t), \end{cases}
onde g(t)=t e^{-t}\]. Essas três equações determinam \(u_1',u_2',u_3'; depois integra-se para obter u_i.]
Passo 4
Calcular as derivadas das soluções fundamentais e simplificar o sistema dividindo por e^{-t}.
As funções fundamentais e suas derivadas são (sempre escrevendo cada termo em fator e^{-t}):
Como e^{-t}\neq0, podemos dividir as três equações do sistema por e^{-t} e trabalhar com os polinômios que sobram. Chamando a(t)=u_1'(t), b(t)=u_2'(t), c(t)=u_3'(t), obtemos o sistema em termos de a,b,c:
\begin{cases} a + b\,t + c\,t^2 = 0,\\[4pt] - a + b(1-t) + c(2t-t^2) = 0,\\[4pt] a + b(t-2) + c(t^2-4t+2) = t. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema linear para a(t),b(t),c(t).
Começamos isolando a a partir da primeira equação:
a = -b\,t - c\,t^2.
Substituímos na segunda equação:
-(-b t - c t^2) + b(1-t) + c(2t-t^2)=0.
Isso simplifica a:
b + 2c t = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2c t.
Usando b=-2c t na expressão de a:
a = -(-2c t) t - c t^2 = 2c t^2 - c t^2 = c t^2.
Agora substituímos a e b na terceira equação:
c t^2 + (-2c t)(t-2) + c(t^2-4t+2) = t.
Calculando os termos, quase tudo cancela e sobra
2c = t \quad\Rightarrow\quad c = \frac{t}{2}.
Então
b = -2c t = -2\cdot\frac{t}{2}\cdot t = -t^2, \qquad a = c t^2 = \frac{t}{2}\,t^2 = \frac{t^3}{2}.
Integramos cada derivada (sendo possíveis constantes de integração absorvíveis pela solução homogênea, podemos escolher a antiderivada particular sem constantes):