Considere a equação linear
e responda os itens abaixo.
Mostre que se
é solução da EDO acima e
então
também é solução da EDO acima.
Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais, mais especificamente equações diferenciais lineares. A gente tem a equação
e precisa mostrar que se
é uma solução dessa equação, então qualquer múltiplo dessa solução, ou seja,
onde
é um número real, também é solução. Para isso, vamos usar as propriedades de linearidade das equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é uma solução da equação. Isso quer dizer que, se a gente substituir
na equação, vai dar zero. Ou seja:
Aqui,
é a segunda derivada de
,
é a primeira derivada, e
é a função em si.
Passo 3
Agora, queremos verificar se
também satisfaz a equação. Para isso, vamos calcular as derivadas de
:
Note que a constante
pode ser trazida pra fora das derivadas porque a derivação é uma operação linear.
Passo 4
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Agora, fatoramos o
:
Passo 5
Lembrando que
é solução da equação, ou seja,
. Substituindo:
Então, a equação é satisfeita por
.
Resposta
Assim, mostramos que
também é solução da equação
.