Considere a equação linear y^prime prime-2 y^prime+y=0 e responda os itens abaixo.
Mostre que se y3 é solução da EDO acima e c in R então c cdot y3 também é solução da EDO acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais, mais especificamente equações diferenciais lineares. A gente tem a equação e precisa mostrar que se é uma solução dessa equação, então qualquer múltiplo dessa solução, ou seja, onde é um número real, também é solução. Para isso, vamos usar as propriedades de linearidade das equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que y3'' - 2y3' + y3 = 0 é uma solução da equação. Isso quer dizer que, se a gente substituir na equação, vai dar zero. Ou seja:
Aqui, é a segunda derivada de , é a primeira derivada, e é a função em si.

Passo 3

Agora, queremos verificar se (c cdot y3)' = c cdot y3' também satisfaz a equação. Para isso, vamos calcular as derivadas de (c cdot y3)'' = c cdot y3'' :
Note que a constante pode ser trazida pra fora das derivadas porque a derivação é uma operação linear.

Passo 4

Substituindo (c cdot y3)'' - 2(c cdot y3)' + (c cdot y3) = c cdot y3'' - 2c cdot y3' + c cdot y3 e suas derivadas na equação original:
c cdot (y3'' - 2y3' + y3)
Agora, fatoramos o :

Passo 5

Lembrando que c cdot 0 = 0 é solução da equação, ou seja, . Substituindo:
Então, a equação é satisfeita por .

Resposta

Assim, mostramos que também é solução da equação .

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