Nos itens abaixo, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x^2 y^prime=y-x y, y(-1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^2y'=y-xy
sujeita à condição inicial y(-1)=1. Isso é um problema de equação separável.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a separar variáveis. Primeiro, fatoramos o lado direito:
x^2y'=y(1-x)
Dividindo por x^2y (supondo xneq0 e yneq0):
y'y=1-xx^2
Como y'=dydx, temos
1y,dy=l(1x^2-1xr)dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral1y,dy=integrall(1x^2-1xr)dx
No lado esquerdo obtemos ln|y|. No direito,
$$\int\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x},\qquad
\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|. integral1x^2dx=-1x, integral1xdx=ln|x|\ln|y|=-\frac{1}{x}-\ln|x|+C.$$

Passo 4

Isolamos y exponenciando:
$$|y|=e{C}e{-1/x}e^{-\ln|x|}.
|y|=e^Ce^-1/xe^-ln|x| y=K\frac{e^{-1/x}}{x},$$
onde e^-ln|x|=|x|^-1 é constante arbitrária.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(-1)=1:
1=Ke^-1/(-1)-1=Ke^1-1=-Ke
Logo K=-1/e. Substituindo em y=K,e^-1/x/x, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=-1e,x,e^-1/x

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