Resolva o problema de valor inicial
x d yd x=y+x e^y / x, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial dada por:
x d yd x = y + x e^y / x, y(1) = 1
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver, vamos seguir alguns passos usando técnicas de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Dividimos ambos os lados por d yd x = yx + e^y / x (supondo que ):
Isso nos deixa com uma forma mais manejável da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos uma nova variável v = yx como:
Isso significa que . Nosso objetivo é reescrever a equação em termos de e .

Passo 4

Calculamos a derivada de d yd x = v + x d vd x em relação a v + x d vd x = v + e^v usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação acima. Primeiro, subtraímos x d vd x = e^v de ambos os lados:
d vd x = e^vx
Agora, isolamos :

Passo 6

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis d ve^v = d xx e :
Agora, podemos integrar ambos os lados para resolver a equação.

Passo 7

Integrando os dois lados:
integral d ve^v = integral d xx
A integral do lado esquerdo é:
integral e^-v dv = -e^-v + C1
E do lado direito:
integral 1x dx = ln |x| + C2

Passo 8

Colocamos tudo junto:
- e^-v + C1 = ln |x| + C2
Podemos combinar as constantes - e^-v = ln x + C e em uma única constante :
(Como é positivo no nosso intervalo de interesse, removemos o valor absoluto.)

Passo 9

Agora, resolvemos para e^-v = -ln x + C :
e^-y / x = -ln x + C
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 10

Usamos a condição inicial e^-1 / 1 = -ln 1 + C e^-1 = 0 + C C = e^-1 para encontrar o valor de . Substituímos e :

Passo 11

Agora que temos o valor de e^-y / x = -ln x + e^-1 , substituímos de volta na equação:
e^-y / x = 1e - ln x
Podemos reescrever isso como:

Passo 12

Para isolar - yx = ln(1e - ln x) , aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
y = -x cdot ln(1e - ln x)
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial y = -x cdot ln(1e - ln x) é:

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