Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial dada por:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Para resolver, vamos seguir alguns passos usando técnicas de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Dividimos ambos os lados por
(supondo que
):
Isso nos deixa com uma forma mais manejável da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos uma nova variável
como:
Isso significa que
. Nosso objetivo é reescrever a equação em termos de
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação acima. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
:
Agora, podemos integrar ambos os lados para resolver a equação.
Passo 7
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo é:
E do lado direito:
Passo 8
Colocamos tudo junto:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
(Como
é positivo no nosso intervalo de interesse, removemos o valor absoluto.)
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
:
Passo 11
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação:
Podemos reescrever isso como:
Passo 12
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é: