Considere a equação linear y^prime prime-2 y^prime+y=0 e responda os itens abaixo.
Mostre que se y1 e y2 são soluções da EDO acima então y1+y2 também é solução desta EDO.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = 0
A questão nos diz que e são soluções dessa equação e nos pede para mostrar que a soma dessas soluções, ou seja, , também é uma solução da mesma EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser uma solução de uma EDO linear e como as propriedades das soluções se comportam quando somamos duas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de uma equação diferencial. Uma função y1'' - 2y1' + y1 = 0 e y2'' - 2y2' + y2 = 0 é chamada de solução da EDO se, ao substituí-la na equação, a igualdade for verdadeira. Ou seja, se substituir , e na equação nos resulta em uma igualdade verdadeira.
No nosso caso, sabemos que e são soluções, então:

Passo 3

Agora, queremos verificar se y' = y1' + y2' também é uma solução da EDO. Para isso, vamos calcular as derivadas de y'' = y1'' + y2'' :

Passo 4

Substituindo y'' - 2y' + y = (y1'' + y2'') - 2(y1' + y2') + (y1 + y2) , = y1'' + y2'' - 2y1' - 2y2' + y1 + y2 e na equação diferencial:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora, podemos reorganizar os termos:
= (y1'' - 2y1' + y1) + (y2'' - 2y2' + y2)
Como sabemos que y1'' - 2y1' + y1 = 0 e y2'' - 2y2' + y2 = 0 e são soluções da EDO, cada uma delas satisfaz:

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
= 0 + 0 = 0
Portanto, ao substituir na equação diferencial, obtemos , o que confirma que é de fato uma solução da EDO.

Resposta

Assim, mostramos que a soma também é uma solução da equação diferencial .

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