Considere a equação linear
e responda os itens abaixo.
Mostre que se
e
são soluções da EDO acima então
também é solução desta EDO.
Mostre que se
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
A questão nos diz que
e
são soluções dessa equação e nos pede para mostrar que a soma dessas soluções, ou seja,
, também é uma solução da mesma EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser uma solução de uma EDO linear e como as propriedades das soluções se comportam quando somamos duas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de uma equação diferencial. Uma função
é chamada de solução da EDO se, ao substituí-la na equação, a igualdade for verdadeira. Ou seja, se substituir
,
e
na equação nos resulta em uma igualdade verdadeira.
No nosso caso, sabemos que
e
são soluções, então:
Passo 3
Agora, queremos verificar se
também é uma solução da EDO. Para isso, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, podemos reorganizar os termos:
Como sabemos que
e
são soluções da EDO, cada uma delas satisfaz:
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Portanto, ao substituir
na equação diferencial, obtemos
, o que confirma que
é de fato uma solução da EDO.
Resposta
Assim, mostramos que a soma
também é uma solução da equação diferencial
.