Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y, z)=e^x y z^2 ; partial fpartial x partial y partial z.

Passo 1

Vamos começar resumindo: queremos calcular a derivada parcial mista de terceira ordem partial^3 fpartial xpartial ypartial z da função f(x,y,z)=e^x y z^2. O conteúdo envolve derivadas parciais, a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, derivamos em relação a x. Como f(x,y,z)=e^g com g=x y z^2, pela regra da cadeia temos
partial fpartial x=e^x y z^2cdotpartialpartial x(x y z^2)=y z^2 e^x y z^2

Passo 3

Agora, derivamos partial fpartial x=y z^2 e^x y z^2 em relação a y. Aplicando a regra do produto e da cadeia:
partial^2 fpartial ypartial x=partialpartial y(y z^2)e^x y z^2+y z^2 e^x y z^2cdotpartialpartial y(x y z^2) =l[z^2 +x y z^4r]e^x y z^2

Passo 4

Em seguida, derivamos partial^2 fpartial ypartial x em relação a z. Chamando h(z)=z^2 +x y z^4, temos h'(z)=2z+4x y z^3. Pela regra do produto e da cadeia:
partial^3 fpartial zpartial ypartial x=h'(z)e^x y z^2+h(z)e^x y z^2cdotpartialpartial z(x y z^2) =(2z+4x y z^3)e^x y z^2+(z^2+x y z^4)2x y z,e^x y z^2

Passo 5

Por fim, agrupamos termos no fator comum e^x y z^2:
partial^3 fpartial xpartial ypartial z=(2z+6x y z^3+2x^2 y^2 z^5)e^x y z^2 =2zl(1+3x y z^2+x^2 y^2 z^4r)e^x y z^2

Resposta

partial^3 fpartial xpartial ypartial z=2zl(1+3x y z^2+x^2 y^2 z^4r)e^x y z^2

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