Considere uma corda de comprimento L=pi e com extremidade fixas. A função u(x, t) representa o deslocamento da corda, no ponto x, no instante t. Suponha que as extremidades da corda estão fixas, que o deslocamento da corda no tempo t=0 é dado pela função f(x)=2 sen(2 x) e a velocidade inicial é nula. Ou seja, u(x, t) satisfaz
l ut t=ux x u(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=2 sen(2 x) ut(x, 0)=0
Encontre o valor de u(pi3, 1).

Passo 1

O problema é a equação da onda com velocidade unitária em uma corda de comprimento pi, extremidades fixas, deslocamento inicial u(x,0)=2sin(2x) e velocidade inicial nula. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier em senos, já que as condições de contorno são u(0,t)=u(pi,t)=0.

Passo 2

A solução geral por separação de variáveis para extremos fixos é dada por
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx),

Passo 3

onde os coeficientes vêm de analisar as condições iniciais:
  • Da condição u(x,0)=f(x)=2sin(2x), temos
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(nx)=2sin(2x)

Passo 4

Pela ortogonalidade dos senos, só o termo n=2 aparece, logo A2=2 e An=0 para nneq2.
  • Da condição ut(x,0)=0, obtemos Bn=0 para todo n.

Passo 5

Assim,
u(x,t)=2cos(2t)sin(2x)

Passo 6

Agora é só avaliar em x=pi/3 e t=1:
ul(tfracpi3,1r)=2cos(2)sinl(2cdottfracpi3r)=2cos(2)sinl(tfrac2pi3r)

Passo 7

Como sin(2pi/3)=raiz3/2, temos
ul(tfracpi3,1r)=2cos(2)cdotraiz32=raiz3cos(2)

Resposta

raiz3cos(2)

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