Considere a equação logística:
d yd t=r(1-yK) y
com taxa de crescimento intrínseco r=1 e nível de saturação K=1.
© Qual é o maior intervalo de tempo no qual é possível definir a solução do item anterior?

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior intervalo de tempo em que a solução obtida no item anterior (a solução geral da equação logística) está bem definida. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar a forma explícita da solução logística e impor que o denominador nunca seja zero.

Passo 2

A solução geral que encontramos no item anterior foi
y(t)=11+Ae^-t,
onde A é a constante de integração dada pela condição inicial, por exemplo A=(1-y0)/y0 se y(0)=y0.

Passo 3

Para que y(t) exista e seja única, o denominador não pode se anular. Isso exige
1+Ae^-tneq0
ou seja
Ae^-tneq-1
que equivale a
e^-tneq-tfrac1A
Logo, se A>0 nunca temos Ae^-t=-1 e o denominador é sempre positivo; se A<0 existe exatamente um tempo
ts=ln(-A)
em que 1+Ae^-ts=0, e aí a solução explodiria na expressão algébrica.

Passo 4

Portanto o maior intervalo de definição da solução é
I=tin R:;1+Ae^-tneq0= R,&A>0, (-infty, ln(-A)),&A<0 e tomamos a parte que contém o instante inicial, (ln(-A),,infty),&A<0 observado conforme o sinal da condição inicial éçã

Passo 5

Em particular, se 0 então A>0 e o domínio máximo é R. Se y0>1 então A<0 e, tomando a condição inicial em t=0, ficamos com
I=(ln(-A),,infty)=l(lny0-1y0,,inftyr)

Resposta

O maior intervalo de definição é
a) para A>0 (isto é, 0) temos
t\in(-\infty,\infty),
b) para A<0 (isto é, y0>1) e considerando t=0 como instante inicial,
o intervalo é
t>ln(-A), isto é
tin(ln((y0-1)/y0),,infty).
Em forma geral:
I=tin R:;1+Ae^-tneq0

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