O enunciado pede para achar o maior intervalo de tempo em que a solução obtida no item anterior (a solução geral da equação logística) está bem definida. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar a forma explícita da solução logística e impor que o denominador nunca seja zero.
Passo 2
A solução geral que encontramos no item anterior foi
onde é a constante de integração dada pela condição inicial, por exemplo se .
Passo 3
Para que exista e seja única, o denominador não pode se anular. Isso exige
ou seja
que equivale a
Logo, se nunca temos e o denominador é sempre positivo; se existe exatamente um tempo
em que , e aí a solução explodiria na expressão algébrica.
Passo 4
Portanto o maior intervalo de definição da solução é
Passo 5
Em particular, se 0 então A>0 e o domínio máximo é R. Se y0>1 então A<0 e, tomando a condição inicial em t=0, ficamos com
I=(ln(-A),,infty)=l(lny0-1y0,,inftyr)
Resposta
O maior intervalo de definição é
a) para A>0 (isto é, 0) temos
t\in(-\infty,\infty),
b) para A<0 (isto é, y0>1) e considerando t=0 como instante inicial,
o intervalo é t>ln(-A), isto é tin(ln((y0-1)/y0),,infty).
Em forma geral: