Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
y^prime(x)=2 cos x-y

Passo 1

Neste exercício, temos a EDO de primeira ordem y'(x)=2cos x - y. O objetivo é entender o campo de direções, achar a solução geral dessa EDO linear e traçar algumas curvas integrais.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de EDO linear: y' + y = 2cos x. Identificamos o fator integrante mu(x)=e^integral 1,dx=e^x, que serve para tornar a equação exata.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por mu(x). Isso nos dá
ddxl(e^x yr)=2e^xcos x
Em seguida, integramos ambos os lados com respeito a x.

Passo 4

Calculamos a integral do lado direito. Usando a fórmula integral e^xcos x,dx=tfrace^x2(sin x+cos x), obtemos
integral 2e^xcos x,dx=e^x(sin x+cos x)+C

Passo 5

Igualando e isolando y, temos
e^x y=e^x(sin x+cos x)+C
Logo
y(x)=sin x+cos x+Ce^-x
Esta é a solução geral.

Passo 6

Para visualizar o campo de direções e as curvas integrais, podemos usar Python com numpy e matplotlib. Criamos uma malha de pontos (x,y), calculamos os vetores (1,2cos x - y), normalizamos e desenhamos com quiver. Depois, para várias constantes C, plotamos y(x)=sin x+cos x+Ce^-x no mesmo gráfico.

Resposta

y(x)=sin x+cos x+Ce^-x

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