Expresse a função f(x)=11-3 x como uma série de potência centrada em x=0. Apresente os cinco primeiros termos e a expressão geral da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ e precisa escrever ela como uma série de potência centrada em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são muito úteis pra expressar funções dessa forma.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma série geométrica tem a forma geral:
11 - r = 1 + r + r^2 + r^3 + dots
onde $ |r| < 1 $. Aí, a gente consegue expandir a função em uma série infinita.

Passo 3

Comparando a função que temos $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ com a fórmula da série geométrica, percebemos que o termo $ r $ é igual a $ 3x $. Então, substituindo $ r $ por $ 3x $ na série geométrica, ficamos com:
f(x) = 11 - 3x

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
f(x) = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + 81x^4 + dots
Aqui, cada termo seguinte é multiplicado por $ 3x $.

Passo 5

Agora, para deixar isso mais geral, a expressão geral da série é:
f(x) = sumn=0^infty (3x)^n = sumn=0^infty 3^n x^n

Resposta

A série de potência centrada em $ x = 0 $ para a função $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ é:
x = 0

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