Expresse a função
como uma série de potência centrada em
. Apresente os cinco primeiros termos e a expressão geral da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ e precisa escrever ela como uma série de potência centrada em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são muito úteis pra expressar funções dessa forma.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma série geométrica tem a forma geral:
onde $ |r| < 1 $. Aí, a gente consegue expandir a função em uma série infinita.
Passo 3
Comparando a função que temos $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ com a fórmula da série geométrica, percebemos que o termo $ r $ é igual a $ 3x $. Então, substituindo $ r $ por $ 3x $ na série geométrica, ficamos com:
Passo 4
Vamos simplificar os termos:
Aqui, cada termo seguinte é multiplicado por $ 3x $.
Passo 5
Agora, para deixar isso mais geral, a expressão geral da série é:
Resposta
A série de potência centrada em $ x = 0 $ para a função $ f(x) = \frac{1}{1 - 3x} $ é: