Considere a equação m x^prime prime=-k x-alpha x^prime do sistema massa-mola amortecido no caso em que alpha^2>4 m k, onde m é a massa do objeto, k é o coeficiente de restauração e alpha é o coeficiente de amortecimento. Mostre que se o objeto for “largado” em uma posição inicial diferente da de equilíbrio (ou seja, posição inicial x(0) neq 0 e velocidade inicial x^prime(0)=0 ), então o sistema não oscila, ou seja x(t) não troca de sinal

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, típica do sistema massa–mola amortecido. A equação é
m,x''(t)=-k,x(t)-alpha,x'(t),
com condição de amortecimento forte, isto é alpha^2>4mk. Vamos resolver a equação, aplicar as condições iniciais
x(0)=x0neq 0, x'(0)=0
e mostrar que a solução x(t) não muda de sinal para t>0.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
x''(t)+alpham,x'(t)+km,x(t)=0
e formamos a equação característica
r^2+alpham,r+km=0
Como alpha^2>4mk, as raízes são reais e distintas:
r1,2 = -alphampmraizl(alphamr)^2-4km2 = -alphapmraizalpha^2-4mk2m

Passo 3

Denotando De<a=raizalpha^2-4mk>0, temos
r1=-alpha+De<a2m, r2=-alpha-De<a2m
Como alpha>0 e De<a<alpha, segue r1<0 e r2<0. A solução geral é
x(t)=C1e^r1t+C2e^r2t

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0 vem
x(0)=C1+C2=x0,
e para a derivada
x'(t)=C1r1e^r1t+C2r2e^r2t
tendo em t=0
x'(0)=C1r1+C2r2=0
O sistema para C1,C2 é
C1+C2 = x0, C1r1+C2r2 = 0
Resolvendo, obtemos
C1 = x0,r2r2 - r1, C2 = -x0,r1r2 - r1

Passo 5

Como r2<r1<0, o denominador r2-r1 é negativo. Assim, se x0>0 então
C1 = x0,r2r2 - r1>0, C2 = -x0,r1r2 - r1>0
Analogamente, se x0<0, tanto C1 quanto C2 são negativos. Logo C1 e C2 têm o mesmo sinal de x0.

Passo 6

A solução final para t>=0 é
x(t)=C1e^r1t+C2e^r2t,
com C1,C2>0 e r1,r2<0. Cada termo Ci e^rit mantém o sinal de Ci para todo t>=0, logo x(t) nunca atravessa zero: tem o mesmo sinal de x0 em toda a evolução.

Resposta

A solução é
x(t) =x0,r2r2-r1,e^r1t -x0,r1r2-r1,e^r2t,
onde r1,2=tfrac-alphapmraizalpha^2-4mk2m<0. Como os coeficientes são ambos do mesmo sinal de x0, x(t) não muda de sinal e, portanto, o sistema não oscila.

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