Considere a equação
do sistema massa-mola amortecido no caso em que
, onde
é a massa do objeto,
é o coeficiente de restauração e
é o coeficiente de amortecimento. Mostre que se o objeto for “largado” em uma posição inicial diferente da de equilíbrio (ou seja, posição inicial
e velocidade inicial
), então o sistema não oscila, ou seja
não troca de sinal
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, típica do sistema massa–mola amortecido. A equação é
com condição de amortecimento forte, isto é
. Vamos resolver a equação, aplicar as condições iniciais
e mostrar que a solução
não muda de sinal para
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
e formamos a equação característica
Como
, as raízes são reais e distintas:
Passo 3
Denotando
, temos
Como
e
, segue
e
. A solução geral é
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais. Em
vem
e para a derivada
tendo em
O sistema para
é
Resolvendo, obtemos
Passo 5
Como
, o denominador
é negativo. Assim, se
então
Analogamente, se
, tanto
quanto
são negativos. Logo
e
têm o mesmo sinal de
.
Passo 6
A solução final para
é
com
e
. Cada termo
mantém o sinal de
para todo
, logo
nunca atravessa zero: tem o mesmo sinal de
em toda a evolução.
Resposta
A solução é
onde
. Como os coeficientes são ambos do mesmo sinal de
,
não muda de sinal e, portanto, o sistema não oscila.