[2.0 pontos] O gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is)? Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por
f(x)= raizx^4+8,&x<0, 0,&x=0, dfracxx^2+1,&x>0,
e pede para verificar se o gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is). Para isso, vamos calcular limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x), pois uma reta y=L é assíntota horizontal se f(x)to L quando xtopminfty.
Passo 2
Cálculo de limxto+inftyf(x). Para x>0 temos
f(x)=xx^2+1
Dividindo numerador e denominador por x,
f(x)=1x + tfrac1x,
logo, ao fazermos xto+infty, temos x+tfrac1xto+infty e
limxto+inftyf(x) =limxto+infty1x+tfrac1x =0
Passo 3
Cálculo de limxto-inftyf(x). Para x<0 usamos
f(x)=raizx^4+8
Repare que x^4=(x^2)^2, então
raizx^4+8 =x^2raiz1+8x^4
Quando xto-infty, temos x^2to+infty e raiz1+8/x^4to1, logo