Considere a função f definida por
f(x)=cc (x^4+8)^1 / 2 & se x<0 0 & se x=0 xx^2+1 & se x>0
[2.0 pontos] O gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is)? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por
f(x)= raizx^4+8,&x<0, 0,&x=0, dfracxx^2+1,&x>0,
e pede para verificar se o gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is). Para isso, vamos calcular
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x), pois uma reta y=L é assíntota horizontal se f(x)to L quando xtopminfty.

Passo 2

Cálculo de limxto+inftyf(x). Para x>0 temos
f(x)=xx^2+1
Dividindo numerador e denominador por x,
f(x)=1x + tfrac1x,
logo, ao fazermos xto+infty, temos x+tfrac1xto+infty e
limxto+inftyf(x) =limxto+infty1x+tfrac1x =0

Passo 3

Cálculo de limxto-inftyf(x). Para x<0 usamos
f(x)=raizx^4+8
Repare que x^4=(x^2)^2, então
raizx^4+8 =x^2raiz1+8x^4
Quando xto-infty, temos x^2to+infty e raiz1+8/x^4to1, logo
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyx^2raiz1+8x^4 =+infty
Isso mostra que não há valor finito limite à esquerda.

Passo 4

Como limxto+inftyf(x)=0, existe assíntota horizontal à direita dada por y=0. Como limxto-inftyf(x)=+infty, não há assíntota horizontal à esquerda.

Resposta

O gráfico de f admite exatamente uma assíntota horizontal:
y=0,
no sentido xto+infty. Não há assíntota horizontal para xto-infty.

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