Considere a função f definida por
f(x)=cc (x^4+8)^1 / 2 & se x<0 0 & se x=0 xx^2+1 & se x>0
[2.5 pontos] Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo [1 / 2,2]

Passo 1

No intervalo [1/2,2] temos sempre x>0, então a definição de f reduz-se a
f(x)=xx^2+1,
Para encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado, avaliamos os pontos críticos (onde a derivada anula ou é indefinida) e as fronteiras do intervalo.

Passo 2

Calcular a derivada de f usando quociente:
f'(x) =(x^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+1)^2 =x^2+1-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
1 - x^2 = 0 implies x^2 = 1 implies x = 1 (válido em [1/2,2]) á
Não há ponto em que f' seja indefinida para x>0.

Passo 4

Avaliar f em x=1/2, x=1 e x=2:
fl(tfrac12r) =tfrac12(tfrac12)^2+1 =tfrac121,25 =0,4,
f(1) =11+1 =0,5,
f(2) =24+1 =0,4

Passo 5

Comparando os valores obtidos, o maior valor é 0,5 em x=1 e o menor é 0,4 em x=1/2 e x=2.

Resposta

O máximo absoluto de f em [1/2,2] é 0,5 (ocorre em x=1) e o mínimo absoluto é 0,4 (ocorre em x=1/2 e x=2).

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