Considere a equação do movimento na forma tridimensional:
partial Vpartial t+V cdot nabla V+2 Omega times V=-1rho nabla p-ge+v nabla^2 V
onde V é o vetor velocidade; p a pressão; rho é a densidade do fluido; Omega é a frequência angular de rotação da Terra; v é o coeficiente de viscosidade cinemática molecular.
a) Identifique cada um dos termos acima.
b) Reescreva a equação na forma das componentes cartesianas x, y e z.

Passo 1

Beleza, bora lá! Nosso objetivo é trabalhar com a equação de movimento (Navier–Stokes em 3D num referencial que gira com a Terra). Pediram duas coisas:
a) dizer o que representa cada termo da equação
b) escrever tudo em componentes cartesianas (x, y, z)
Conteúdo: mecânica dos fluidos (equação de Navier–Stokes no referencial girante).
O que vamos usar:
  • Operadores vetoriais (∇, laplaciano ∇², produto vetorial ×)
  • Noção de aceleração local e advectiva
  • Projeção em eixos x, y, z, assumindo que vecOmega=(0,0,Omega).

Passo 2

Primeiro, identificando cada termo da equação
partial Vpartial t +;Vcdotnabla V +;2,OmegatimesV ;=; -1rho,nabla p ;-;ge ;+;nu,nabla^2V
  1. partial Vpartial t: aceleração local – quanto a velocidade muda no tempo num ponto fixo.
  2. Vcdotnabla V: aceleração advectiva – variação da velocidade conforme o fluido se desloca (termo não-linear).
  3. 2,OmegatimesV: força de Coriolis (aparece porque o referencial gira).
  4. -1rho,nabla p: força de gradiente de pressão por unidade de massa.
  5. -ge: aceleração da gravidade efetiva (inclui gravidade + força centrífuga).
  6. nu,nabla^2V: difusão viscosa (momento molecular, condicionada pela viscosidade cinemática nu).

Passo 3

Agora vamos projetar essa equação nos eixos x, y, z.
Operações usadas:
  • nabla p=(partialx p,;partialy p,;partialz p)
  • nabla^2vec V=(nabla^2 u,;nabla^2 v,;nabla^2 w)
  • Para Omega=(0,0,Omega) e vec V=(u,v,w),
2,OmegatimesV =l(-2Omega,v,;;2Omega,u,;;0r)

Passo 4

Escrevendo cada componente (x, y, z):
Componente x:
partial upartial t +u,partial upartial x +v,partial upartial y +w,partial upartial z -2Omega,v =-1rho,partial ppartial x -ge,x +nu,nabla^2u
Componente y:
partial vpartial t +u,partial vpartial x +v,partial vpartial y +w,partial vpartial z +2Omega,u =-1rho,partial ppartial y -ge,y +nu,nabla^2v
Componente z:
partial wpartial t +u,partial wpartial x +v,partial wpartial y +w,partial wpartial z ;=; -1rho,partial ppartial z -ge,z +nu,nabla^2w

Resposta

a) Termos identificados:
  • partialtvec V: aceleração local
  • vec Vcdotnablavec V: aceleração advectiva
  • 2,vecOmegatimesvec V: força de Coriolis
  • -tfrac1rhonabla p: força de pressão
  • -vec ge: gravidade efetiva
  • nunabla^2vec V: difusão viscosa
b) Forma cartesiana (assumindo vecOmega=(0,0,Omega), vec V=(u,v,w)):
partial upartial t +u,partialxu+v,partialyu+w,partialzu -2Omega,v =-1rho,partialx p -ge,x +nu,nabla^2u,[6pt] partial vpartial t +u,partialxv+v,partialyv+w,partialzv +2Omega,u =-1rho,partialy p -ge,y +nu,nabla^2v,[6pt] partial wpartial t +u,partialxw+v,partialyw+w,partialzw =-1rho,partialz p -ge,z +nu,nabla^2w
]

Exercícios relacionados