Explique os dois métodos de derivação das leis de conservação para os fluidos.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: “Explique os dois métodos de derivação das leis de conservação para os fluidos.” Isso cai em Mecânica dos Fluidos, mais precisamente nas equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é volume material (Lagrangiano) e volume de controle (Euleriano).
  • Saber o que é derivada material D/Dt.
  • Conhecer o Teorema de Reynolds (transporte de uma integral) e o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Método Lagrangiano (volume material)
  1. Volume material é como se você pintasse um conjunto de partículas de fluido e o seguisse onde ele for. A ideia de conservação de massa é simples: a massa desse lote pintado nunca muda.
  2. Escrevendo isso dá
D mD t ;=; 0 Longrightarrow DD tl(rho,Vr)=0
onde rho é a densidade e V o volume do lote.
3) Agora usamos duas regrinhas:
dfracDDt(rho,V)=rho,dfracDVDt+V,dfracDrhoDt.
– A variação do volume do lote está ligada à divergência da velocidade:
1VDVDt=nablacdot v.
4) Substituindo, vem
rho,V,(nablacdot v)+V,DrhoDt=0 ;;Longrightarrow;; DrhoDt+rho,nablacdot v=0
que é a forma Lagrangiana da equação de continuidade (massa).
5) Pra quantidade de movimento, aplicamos a 2ª lei de Newton no lote:
DDt(rho, v) =somas de forças (superfície + corpo) çí
e pro balanço de energia a gente faz algo parecido usando a 1ª lei da Termodinâmica.

Passo 3

Método Euleriano (volume de controle)
  1. Aqui a gente fixa uma região do espaço (volume de controle, CV) e olha o que entra e sai pelas suas paredes (superfície de controle, CS).
  2. A ferramenta-chave é o Teorema de Reynolds: pra qualquer quantidade extensiva N=integralCV(t)rho,phi,dV,
ddt!!integralCV(t)!!rhophi,dV = integralCVpartial(rhophi)partial t,dV + integralCSrho,phi;( v!cdot! n),dA
Isso transforma derivada de integral móvel em termos que dá pra trabalhar.
3) Se você escolhe phi=1 (massa), impõe que não há fonte interna, chega em
integralCVl[partialrhopartial t+nablacdot(rho v)r]dV=0
Como o CV é arbitrário, sai a forma local
partialrhopartial t+nablacdot(rho v)=0
  1. Pra quantidade de movimento, põe phi= v e inclui as tensões e forças de corpo; pra energia, escolhe phi=e+tfrac12| v|^2 e inclui trocas de calor e trabalho. Em todos os casos você usa também o Teorema da Divergência pra passar do termo de superfície pro volume.

Resposta

Os dois métodos são:
  1. Método Lagrangiano – acompanha um volume material usando a derivada material D/Dt.
  2. Método Euleriano – usa um volume de controle fixo/arbitrário, aplica o Teorema de Reynolds e o Teorema da Divergência para chegar às formas locais das leis de conservação.

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