Explique os dois métodos de derivação das leis de conservação para os fluidos.
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: “Explique os dois métodos de derivação das leis de conservação para os fluidos.” Isso cai em Mecânica dos Fluidos, mais precisamente nas equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender o que é volume material (Lagrangiano) e volume de controle (Euleriano).
- Saber o que é derivada material
. - Conhecer o Teorema de Reynolds (transporte de uma integral) e o Teorema da Divergência (Gauss).
Passo 2
Método Lagrangiano (volume material)
- Volume material é como se você pintasse um conjunto de partículas de fluido e o seguisse onde ele for. A ideia de conservação de massa é simples: a massa desse lote pintado nunca muda.
- Escrevendo isso dá
onde
é a densidade e
o volume do lote.
3) Agora usamos duas regrinhas:
– .
– A variação do volume do lote está ligada à divergência da velocidade:
.
4) Substituindo, vem
3) Agora usamos duas regrinhas:
–
– A variação do volume do lote está ligada à divergência da velocidade:
4) Substituindo, vem
que é a forma Lagrangiana da equação de continuidade (massa).
5) Pra quantidade de movimento, aplicamos a 2ª lei de Newton no lote:
5) Pra quantidade de movimento, aplicamos a 2ª lei de Newton no lote:
e pro balanço de energia a gente faz algo parecido usando a 1ª lei da Termodinâmica.
Passo 3
Método Euleriano (volume de controle)
- Aqui a gente fixa uma região do espaço (volume de controle, CV) e olha o que entra e sai pelas suas paredes (superfície de controle, CS).
- A ferramenta-chave é o Teorema de Reynolds: pra qualquer quantidade extensiva
,
Isso transforma derivada de integral móvel em termos que dá pra trabalhar.
3) Se você escolhe (massa), impõe que não há fonte interna, chega em
3) Se você escolhe
Como o CV é arbitrário, sai a forma local
- Pra quantidade de movimento, põe
e inclui as tensões e forças de corpo; pra energia, escolhe e inclui trocas de calor e trabalho. Em todos os casos você usa também o Teorema da Divergência pra passar do termo de superfície pro volume.
Resposta
Os dois métodos são:
- Método Lagrangiano – acompanha um volume material usando a derivada material
. - Método Euleriano – usa um volume de controle fixo/arbitrário, aplica o Teorema de Reynolds e o Teorema da Divergência para chegar às formas locais das leis de conservação.