Considere a equaçào não exata (1x^3+e^xx) d x+(e^y+1x y) d y=0. Encontre uma funçâo de x que torne a FDO uma equação exata. Em seguida. determine a soluçảo da EDO.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial na forma de uma forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, não exata, e pede um fator integrante mu(x) que torne exata e em seguida a solução da EDO. Vamos usar conceitos de equações exatas e fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=1x^3+e^xx, N(x,y)=e^y+1x,y
Para ver se já é exata, calculamos as derivadas parciais.

Passo 3

Como não exata, fazemos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=-1x^2y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante mu(x). A condição é
mu'mu=My- NxN
Aqui
My-NxN= rac0-(-1/(x^2y))e^y+1/(xy) = rac1/(x^2y)e^y+1/(xy) = rac1xl(xy e^y+1r),
que depende de y. Logo não existe fator integrante que dependa só de x.

Resposta

Não existe função mu(x) dependente apenas de x que torne a equação exata.

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