Encontre uma representação por séries de potências para a seguinte função e determine seu raio de convergência.
f(x)=2(1+x^2), dica f(x)=-2 dd x 11+x

Passo 1

Nesta questão pedem para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x)=21+x^2 e determinar seu raio de convergência. O conteúdo aqui envolve séries de potências, em particular a série geométrica e operações termo a termo (derivação e multiplicação por constante). Vamos usar a dica de que f(x)=-2,ddx11+x.

Passo 2

Para começar, lembramos da série geométrica. Sempre que |x|<1 temos
11+x=sumn=0^infty(-1)^n,x^n
Essa fórmula é fundamental: ela expressa 1/(1+x) como uma soma infinita de potências de x.

Passo 3

Agora vamos derivar termo a termo a série acima. Como a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado dentro de |x|<1, podemos diferenciar cada termo:
ddx11+x=-1(1+x)^2 =ddxsumn=0^infty(-1)^n x^n =sumn=1^infty(-1)^n n,x^n-1
Na última igualdade aplicamos a regra de derivação ddxx^n=n,x^n-1 em cada termo.

Passo 4

Segundo a dica, multiplicamos essa série por -2). Assim,
f(x)=-2,ddx11+x=-2sumn=1^infty(-1)^n n,x^n-1
Para escrever na forma padrão sumk=0^infty ak x^k, basta trocar o índice: seja k=n-1, logo n=k+1. Temos
f(x)=2sumk=0^infty(-1)^k (k+1),x^k
Essa é a série de potências procurada.

Passo 5

Finalmente, para achar o raio de convergência R, aplicamos o critério da razão em geral aos coeficientes ak=2(-1)^k(k+1). Calculamos
L=limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty(k+2)(k+1)=1
Como L=1, o raio de convergência é
R=1

Resposta

A representação em série de potências é:
f(x)=2sumn=0^infty(-1)^n (n+1),x^n,
e o raio de convergência é R=1.

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