Encontre uma representação por séries de potências para a seguinte função e determine seu raio de convergência. , dica
Passo 1
Nesta questão pedem para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar seu raio de convergência. O conteúdo aqui envolve séries de potências, em particular a série geométrica e operações termo a termo (derivação e multiplicação por constante). Vamos usar a dica de que .
Passo 2
Para começar, lembramos da série geométrica. Sempre que temos
Essa fórmula é fundamental: ela expressa como uma soma infinita de potências de .
Passo 3
Agora vamos derivar termo a termo a série acima. Como a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado dentro de , podemos diferenciar cada termo:
Na última igualdade aplicamos a regra de derivação em cada termo.
Passo 4
Segundo a dica, multiplicamos essa série por . Assim,
Para escrever na forma padrão , basta trocar o índice: seja , logo . Temos
Essa é a série de potências procurada.
Passo 5
Finalmente, para achar o raio de convergência , aplicamos o critério da razão em geral aos coeficientes . Calculamos