(2.0) a) Determine os pontos críticos da função
f(x, y)=3 x y^2+x^3-3 x

Passo 1

A função dada é f(x,y)=3x y^2 + x^3 - 3x. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos de uma função de duas variáveis, ou seja, onde o gradiente (as derivadas parciais) se anula.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 3y^2 + 3x^2 - 3
partial fpartial y = 6xy

Passo 3

Agora a gente resolve o sistema
partial fpartial x = 0, partial fpartial y = 0
Da segunda equação 6xy=0, ou x=0 ou y=0.

Passo 4

Analisando os casos:
• Se x=0, então 3y^2+3cdot0^2-3=0 3y^2-3=0 y^2=1 y=pm1. Então temos (0,1) e (0,-1).
• Se y=0, então 3cdot0^2+3x^2-3=0 3x^2-3=0 x^2=1 x=pm1. Então temos (1,0) e (-1,0).

Resposta

Os pontos críticos são (0,1), (0,-1), (1,0) e (-1,0).

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