A equação de difusão de temperatura em uma barra infinita com termo fonte é dada por
A função
modela uma fonte de calor. Encontre a solução deste problema. Em seguida, escreva a solução nos seguintes exemplos:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de difusão de temperatura numa barra infinita com termo fonte:
– PDE: para
,
– Condição inicial:
Conteúdo usado: solução fundamental (heat kernel) e princípio de Duhamel para termos não homogenéos.
– PDE:
– Condição inicial:
Conteúdo usado: solução fundamental (heat kernel) e princípio de Duhamel para termos não homogenéos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o núcleo fundamental da equação do calor na reta é a função de Green
Ela resolve a parte homogênea
com condição inicial delta de Dirac.
Passo 3
Para incorporar o termo fonte usamos o princípio de Duhamel, que dá a solução geral não homogenéa como convolução no tempo e no espaço:
Passo 4
No caso específico em que
essa fórmula a integral espacial só ocorre em
. Logo
Passo 5
Agora calculamos a integral em
em função de
. Para
:
Fica então uma integral só em
(ou em
), que encerra a expressão da solução.
Passo 6
Resposta
A solução para o caso dado é
Alternativamente, trocando de variável
: