A equação de difusão de temperatura em uma barra infinita com termo fonte é dada por
ut(x, t)=c^2 ux x(x, t)+f(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=0, & para x in(-infty,+infty)
A função f(x, t) modela uma fonte de calor. Encontre a solução deste problema. Em seguida, escreva a solução nos seguintes exemplos:
f(x, t)= 100, & se x in(-1,1), 0, & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de difusão de temperatura numa barra infinita com termo fonte:
– PDE: ut(x,t)=c^2uxx(x,t)+f(x,t) para xin R, t>0
– Condição inicial: u(x,0)=0
Conteúdo usado: solução fundamental (heat kernel) e princípio de Duhamel para termos não homogenéos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o núcleo fundamental da equação do calor na reta é a função de Green
G(x,t)=1raiz4pi c^2t,e^-x^24c^2t, t>0
Ela resolve a parte homogênea ut=c^2uxx com condição inicial delta de Dirac.

Passo 3

Para incorporar o termo fonte usamos o princípio de Duhamel, que dá a solução geral não homogenéa como convolução no tempo e no espaço:
u(x,t)=integral0^tintegral-infty^inftyG(x-y,,t-s),f(y,s),dy,ds

Passo 4

No caso específico em que
f(x,t)=100,&xin(-1,1),0,&caso contrário, á
essa fórmula a integral espacial só ocorre em [-1,1]. Logo
u(x,t)=100integral0^tintegral-1^1G(x-y,,t-s),dy,ds

Passo 5

Agora calculamos a integral em y em função de tau=t-s. Para tau>0:
integral-1^1G(x-y,tau),dy =12l[erfl(x+12craiztaur)-erfl(x-12craiztaur)r]
Fica então uma integral só em tau (ou em s), que encerra a expressão da solução.

Passo 6

Resposta

A solução para o caso dado é
u(x,t)=100integral0^t12l[erfl(tfracx+12craizt-sr)-erfl(tfracx-12craizt-sr)r],ds
Alternativamente, trocando de variável tau=t-s:
u(x,t)=50integral0^tl[erfl(tfracx+12craiztaur)-erfl(tfracx-12craiztaur)r],dtau

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