Considere a Equação da Onda não-homogênea
onde
é uma constante. Considere também as seguintes condições:
Use a mudança de variável
para obter um problema homogêneo em
. Você não precisa resolver tal problema, apenas escrevê-lo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resolver uma Equação da Onda não-homogênea usando uma mudança de variável. A matéria aqui envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de mudança de variável $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $ para transformar a equação não-homogênea em uma homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma mudança de variável. Aqui, estamos escrevendo $ u(x, t) $ como a soma de duas funções: $ v(x, t) $, que vai ser nossa nova função desconhecida, e $ \psi(x) $, que é uma função que vamos determinar para eliminar o termo não-homogêneo da equação original.
Passo 3
Vamos substituir $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $ na equação da onda não-homogênea:
Substituindo, temos:
Onde $ u_{xx} = v_{xx} + \psi’’(x) $ e $ u_{tt} = v_{tt} $ já que $ \psi(x) $ não depende de $ t $.
Passo 4
Queremos que a nova equação seja homogênea, ou seja, sem o termo $ A x $. Para isso, escolhemos $ \psi(x) $ de forma que:
Resolvendo para $ \psi’’(x) $:
Passo 5
Agora, voltando à equação substituída, temos:
Os termos $ -A x $ e $ +A x $ se cancelam, ficando:
Ou seja:
Essa é a equação da onda homogênea para $ v(x, t) $.
Passo 6
Também precisamos transformar as condições de contorno e iniciais. Como $ u(0, t) = 0 $ e $ u(1, t) = 0 $, temos:
Para simplificar, podemos escolher $ \psi(0) = \psi(1) = 0 $, assim:
Passo 7
As condições iniciais também se transformam. Como $ u(x, 0) = 0 $ e $ u_t(x, 0) = 0 $, temos:
Para manter as condições homogêneas, podemos escolher $ \psi(x) = 0 $, então:
Resposta
Após a mudança de variável $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $, o problema homogêneo para $ v(x, t) $ fica: