Considere a Equação da Onda não-homogênea
a^2 ux x+A x=ut t,
onde A é uma constante. Considere também as seguintes condições:
& u(0, t)=0, u(1, t)=0, t>0 & u(x, 0)=0, & ut(x, 0)=0, 0
Use a mudança de variável u(x, t)=v(x, t)+psi(x) para obter um problema homogêneo em v. Você não precisa resolver tal problema, apenas escrevê-lo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resolver uma Equação da Onda não-homogênea usando uma mudança de variável. A matéria aqui envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de mudança de variável $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $ para transformar a equação não-homogênea em uma homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma mudança de variável. Aqui, estamos escrevendo $ u(x, t) $ como a soma de duas funções: $ v(x, t) $, que vai ser nossa nova função desconhecida, e $ \psi(x) $, que é uma função que vamos determinar para eliminar o termo não-homogêneo da equação original.

Passo 3

Vamos substituir $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $ na equação da onda não-homogênea:
u(x, t) = v(x, t) + psi(x)
Substituindo, temos:
a^2 uxx + A x = utt
Onde $ u_{xx} = v_{xx} + \psi’’(x) $ e $ u_{tt} = v_{tt} $ já que $ \psi(x) $ não depende de $ t $.

Passo 4

Queremos que a nova equação seja homogênea, ou seja, sem o termo $ A x $. Para isso, escolhemos $ \psi(x) $ de forma que:
A x
Resolvendo para $ \psi’’(x) $:
psi(x)

Passo 5

Agora, voltando à equação substituída, temos:
a^2 vxx - A x + A x = vtt
Os termos $ -A x $ e $ +A x $ se cancelam, ficando:
-A x
Ou seja:
+A x
Essa é a equação da onda homogênea para $ v(x, t) $.

Passo 6

Também precisamos transformar as condições de contorno e iniciais. Como $ u(0, t) = 0 $ e $ u(1, t) = 0 $, temos:
u(0, t) = 0
u(1, t) = 0
Para simplificar, podemos escolher $ \psi(0) = \psi(1) = 0 $, assim:
v(0, t) + psi(0) = 0 Rightarrow v(0, t) = -psi(0)

Passo 7

As condições iniciais também se transformam. Como $ u(x, 0) = 0 $ e $ u_t(x, 0) = 0 $, temos:
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 0
Para manter as condições homogêneas, podemos escolher $ \psi(x) = 0 $, então:
v(x, 0) + psi(x) = 0 Rightarrow v(x, 0) = -psi(x)

Resposta

Após a mudança de variável $ u(x, t) = v(x, t) + \psi(x) $, o problema homogêneo para $ v(x, t) $ fica:
u(x, t) = v(x, t) + psi(x)

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