Em cada uma dos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial dado.
d yd x+y^2 sen(x)=0, y(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem dydx + y^2sin(x) = 0 com y(0) = -1. O conteúdo é EDO separável, então vamos precisar separar variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação como separável:
dydx = -y^2sin(x)
e então separamos variáveis colocando todos os y de um lado e x do outro:
1y^2,dy = -sin(x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy = integral -sin(x),dx

Passo 4

No lado esquerdo usamos integral y^-2dy = -y^-1 + C1. No direito, integral -sin(x)dx = cos(x) + C2. Agrupando as constantes em uma só C, obtemos:
-1y = cos(x) + C

Passo 5

Isolamos 1/y:
1y = -cos(x) - C = -cos(x) + D,
onde D = -C. Agora aplicamos a condição inicial y(0) = -1:
1-1 = -1 = -cos(0) + D = -1 + D implies D = 0

Passo 6

Logo,
1y = -cos(x)
e portanto
$$
y(x) = -\frac{1}{\cos(x)} = -\sec(x).$$

Resposta

-sec(x)

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