Resolva o Problema do Calor abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema do Calor que você me mandou. O exercício envolve a equação do calor, que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um material. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, condições de contorno e a técnica de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ k $ é a difusividade térmica do material. A equação nos diz como a temperatura muda no tempo com base na segunda derivada espacial da temperatura.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que a derivada da temperatura em relação a $ x $ nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = L $ é zero. Em outras palavras, não há fluxo de calor através das bordas do material.
Passo 4
A condição inicial é:
Isso nos dá a distribuição inicial de temperatura ao longo do material no tempo $ t = 0 $.
Passo 5
Para resolver a equação, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Passo 6
Substituindo $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 7
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para $ X(x) $:
- Para $ T(t) $:
Passo 8
Resolvendo a equação de $ X(x) $ com as condições de contorno $ X’(0) = X’(L) = 0 $, obtemos os modos normais ou funções próprias. As soluções são:
onde $ n $ é um número inteiro.
Passo 9
A solução geral para $ u(x, t) $ é uma soma dos modos normais multiplicados por funções no tempo:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ A_n $:
Comparando os termos, vemos que apenas $ A_3 $ é diferente de zero e igual a 1.
Resposta
A solução do problema do calor é: