Resolva o Problema do Calor abaixo.
ut=k ux x, & 00 ux(0, t)=ux(L, t)=0, & t>0 u(x, 0)=cos (3 piL x), & 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema do Calor que você me mandou. O exercício envolve a equação do calor, que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um material. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, condições de contorno e a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
ut = k uxx
Aqui, $ u(x, t) $ representa a temperatura no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ k $ é a difusividade térmica do material. A equação nos diz como a temperatura muda no tempo com base na segunda derivada espacial da temperatura.

Passo 3

As condições de contorno são:
ux(0, t) = ux(L, t) = 0
Isso significa que a derivada da temperatura em relação a $ x $ nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = L $ é zero. Em outras palavras, não há fluxo de calor através das bordas do material.

Passo 4

A condição inicial é:
u(x, 0) = cos (3 piL x)
Isso nos dá a distribuição inicial de temperatura ao longo do material no tempo $ t = 0 $.

Passo 5

Para resolver a equação, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
x

Passo 6

Substituindo $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação do calor:
u(x, t) = X(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por $ X(x) T(t) $:
X(x) T'(t) = k X''(x) T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 7

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ T(t) $:
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 8

Resolvendo a equação de $ X(x) $ com as condições de contorno $ X’(0) = X’(L) = 0 $, obtemos os modos normais ou funções próprias. As soluções são:
X(x)
onde $ n $ é um número inteiro.

Passo 9

A solução geral para $ u(x, t) $ é uma soma dos modos normais multiplicados por funções no tempo:
u(x, t)

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ A_n $:
An
Comparando os termos, vemos que apenas $ A_3 $ é diferente de zero e igual a 1.

Resposta

A solução do problema do calor é:
u(x, t) = cos(3 piL x) e^-k (3 piL)^2 t

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