Estude a natureza das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai estudar a natureza da série
. Isso quer dizer que vamos descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor) ou diverge (soma até o infinito). Para isso, vamos precisar entender como os termos dessa série se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos individuais da série:
. Para entender o comportamento da série, é importante ver como esses termos se comportam quando
aumenta. Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão.
Passo 3
Vamos calcular alguns valores de
para ver o que acontece:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Percebeu o padrão? Os termos alternam entre 1 e 0: 1, 0, 1, 0, 1, 0,…
Passo 4
Agora que identificamos que os termos da série alternam entre 1 e 0, vamos pensar no que isso significa para a soma da série. Se somarmos esses termos, temos:
A cada par de termos (1 + 0), a soma aumenta em 1. Ou seja, a soma parcial após
termos será aproximadamente
. Conforme
cresce, essa soma também cresce sem limite.
Passo 5
Para concluir, se os termos da série não tendem a zero ou se a soma parcial cresce sem limite, a série diverge. No nosso caso, a soma continua aumentando indefinidamente, o que significa que a série não converge para nenhum valor finito.
Resposta
A série
diverge.