Estude a natureza das séries
sumn=1^+infty sen(n^2 pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai estudar a natureza da série sumn=1^+infty sin(n^2 pi2). Isso quer dizer que vamos descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor) ou diverge (soma até o infinito). Para isso, vamos precisar entender como os termos dessa série se comportam conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos individuais da série: sin(n^2 pi2). Para entender o comportamento da série, é importante ver como esses termos se comportam quando n aumenta. Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão.

Passo 3

Vamos calcular alguns valores de n para ver o que acontece:
  • Para n = 1:
    sin(1^2 pi2) = sin(pi2) = 1
  • Para n = 2:
    sin(2^2 pi2) = sin(4pi2) = sin(2pi) = 0
  • Para n = 3:
    sin(3^2 pi2) = sin(9pi2) = sin(4pi + pi2) = sin(pi2) = 1
  • Para n = 4:
    sin(4^2 pi2) = sin(16pi2) = sin(8pi) = 0
Percebeu o padrão? Os termos alternam entre 1 e 0: 1, 0, 1, 0, 1, 0,…

Passo 4

Agora que identificamos que os termos da série alternam entre 1 e 0, vamos pensar no que isso significa para a soma da série. Se somarmos esses termos, temos:
1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + dots
A cada par de termos (1 + 0), a soma aumenta em 1. Ou seja, a soma parcial após n termos será aproximadamente n2. Conforme n cresce, essa soma também cresce sem limite.

Passo 5

Para concluir, se os termos da série não tendem a zero ou se a soma parcial cresce sem limite, a série diverge. No nosso caso, a soma continua aumentando indefinidamente, o que significa que a série não converge para nenhum valor finito.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin(n^2 pi2) diverge.

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