Considere a equação de onda unidimensional que descreve as vibrações de uma corda fixa:
com as condições de contorno
, e as condições iniciais
.
(a) Suponha uma solução do tipo
e separe as variáveis, obtendo uma EDO para
e outra para
.
(b) Use uma constante de separação
para desacoplar as equações.
(c) Resolva a EDO espacial e, aplicando as condições de contorno, mostre que
.
(d) Resolva a EDO temporal, utilizando o valor de
encontrado.
(e) Escreva a solução
em termos de
e
.
(f) Escreva a solução geral como série de Fourier e explique como ela representa os modos naturais de vibração de uma corda fixa, ou seja, a superposição dos harmônicos que escutamos ao tocar uma corda.
(a) Suponha uma solução do tipo
(b) Use uma constante de separação
(c) Resolva a EDO espacial e, aplicando as condições de contorno, mostre que
(d) Resolva a EDO temporal, utilizando o valor de
(e) Escreva a solução
(f) Escreva a solução geral como série de Fourier e explique como ela representa os modos naturais de vibração de uma corda fixa, ou seja, a superposição dos harmônicos que escutamos ao tocar uma corda.
Passo 1
O enunciado trata da equação de onda unidimensional
com
,
,
e
.
O método será separação de variáveis, levando a duas EDOs acopladas, depois ao problema de autovalores espacial (Sturm–Liouville) e à solução temporal harmônica, para finalmente montar a série de Fourier que satisfaz as condições iniciais.
O método será separação de variáveis, levando a duas EDOs acopladas, depois ao problema de autovalores espacial (Sturm–Liouville) e à solução temporal harmônica, para finalmente montar a série de Fourier que satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na PDE e dividindo por
e também por
, obtemos
Passo 3
Escolhemos a constante de separação negativa
. Assim as EDOs desacopladas são
Passo 4
A EDO espacial geral é
Impondo
dá
. Impondo
dá
logo
Passo 5
Substituindo
na EDO temporal, temos
cuja solução geral é
onde
.
Passo 6
Cada modo normal é
Passo 7
A solução geral é a superposição dos modos:
As constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais via expansão de Fourier seno de
e
.
Passo 8
Fisicamente, cada termo com
corresponde a um modo normal de frequência
. A vibração geral é a soma dos harmônicos (modos) naturais da corda, o que explica o timbre: o que ouvimos é a superposição desses modos.
Resposta
A separação de variáveis leva às EDOs
com
. As soluções são
que representa a superposição dos modos naturais (harmônicos) da corda fixa.