Considere a equação de onda unidimensional que descreve as vibrações de uma corda fixa:
partial^2 u(x, t)partial t^2=v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
com as condições de contorno u(0, t)=0 e u(L, t)=0, e as condições iniciais u(x, 0)=f(x) e partial u(x, 0)partial t=g(x).
(a) Suponha uma solução do tipo u(x, t)= X(x) T(t) e separe as variáveis, obtendo uma EDO para x e outra para t.
(b) Use uma constante de separação -lambda^2 para desacoplar as equações.
(c) Resolva a EDO espacial e, aplicando as condições de contorno, mostre que lambda=n piL.
(d) Resolva a EDO temporal, utilizando o valor de lambda encontrado.
(e) Escreva a solução u(x, t) em termos de X(x) e T(t).
(f) Escreva a solução geral como série de Fourier e explique como ela representa os modos naturais de vibração de uma corda fixa, ou seja, a superposição dos harmônicos que escutamos ao tocar uma corda.

Passo 1

O enunciado trata da equação de onda unidimensional
partial^2u(x,t)partial t^2 = v^2,partial^2u(x,t)partial x^2
com u(0,t)=0, u(L,t)=0, u(x,0)=f(x) e partialtu(x,0)=g(x).
O método será separação de variáveis, levando a duas EDOs acopladas, depois ao problema de autovalores espacial (Sturm–Liouville) e à solução temporal harmônica, para finalmente montar a série de Fourier que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t) = X(x),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por v^2X(x)T(t) e também por X(x)T(t), obtemos
1v^2T''(t)T(t) ;=;X''(x)X(x) = constante

Passo 3

Escolhemos a constante de separação negativa -lambda^2. Assim as EDOs desacopladas são
X''(x) + lambda^2,X(x) = 0,
T''(t) + v^2lambda^2,T(t) = 0

Passo 4

A EDO espacial geral é
X(x)=Asin(lambda x)+Bcos(lambda x)
Impondo X(0)=0 B=0. Impondo X(L)=0
Asin(lambda L)=0;Longrightarrow;lambda L = npi, n=1,2,dots
logo
lambdan = npiL, Xn(x)=sin!l(npiLxr)

Passo 5

Substituindo lambdan na EDO temporal, temos
T''(t) + l(v,npiLr)^2,T(t)=0,
cuja solução geral é
Tn(t) = Cncos!l(omegantr) + Dnsin!l(omegantr),
onde omegan=v,npiL.

Passo 6

Cada modo normal é
un(x,t) = l[Cncos(omegant)+Dnsin(omegant)r], sin!l(npiLxr)

Passo 7

A solução geral é a superposição dos modos:
u(x,t) = sumn=1^infty l[ancos(omegant)+bnsin(omegant)r] sin!l(npiLxr)
As constantes an e bn são determinadas pelas condições iniciais via expansão de Fourier seno de f(x) e g(x).

Passo 8

Fisicamente, cada termo com n corresponde a um modo normal de frequência omegan=v,npi/L. A vibração geral é a soma dos harmônicos (modos) naturais da corda, o que explica o timbre: o que ouvimos é a superposição desses modos.

Resposta

A separação de variáveis leva às EDOs
X''+lambda^2X=0, T''+v^2lambda^2T=0,
com lambdan=npi/L. As soluções são
Xn(x)=sin!l(npi xLr), Tn(t)=Cncos(omegant)+Dnsin(omegant),
omegan=v,npi/L, e a solução geral
u(x,t)=sumn=1^infty l[ancos(omegant)+bnsin(omegant)r] sin!l(npi xLr),
que representa a superposição dos modos naturais (harmônicos) da corda fixa.

Exercícios relacionados