Qual é a importância do movimento ondulatório para a nossa percepção e comunicação com o ambiente em que vivemos?
Considere um corda elástica com densidade linear de massa rho(x). Mostre que para os componentes verticais a 2^a lei de Newton fica da seguinte forma:
rho(x) raizDe<a x^2+De<a u^2 partial^2partial t^2 u(x, t)= =T(x+De<a x, t) sin [theta(x+De<a x, t)]-T(x, t) sin [theta(x, t)] +F(x, t) De<a x
(b) Se considerarmos |theta(x, t)| ll 1 e ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
c) Mostre que a razão entre a tensão T da corda e a densidade linear de massa rho possui dimensão de velocidade ao quadrado.

Passo 1

O enunciado começa destacando a importância do movimento ondulatório para a nossa percepção (como audição e visão) e comunicação (rádio, telefonia, etc.). Para modelar matematicamente uma onda numa corda elástica com densidade linear de massa rho(x), vamos aplicar a segunda lei de Newton ao segmento da corda entre x e x+De<a x, obtendo a equação mostrada no enunciado. Em seguida, faremos a aproximação de pequenos ângulos ( lvertthetarvertll1) e ausência de forças externas, chegando à equação diferencial parcial característica de ondas. Por fim, faremos análise dimensional de T/rho.

Passo 2

Considere um elemento de corda de comprimento De<a s, com
De<a s = raizDe<a x^2 + De<a u^2,
onde u(x,t) é o deslocamento vertical. A massa desse trecho é
m = rho(x),De<a s = rho(x),raizDe<a x^2 + De<a u^2
A resultante das forças verticais sobre esse trecho vem das tensões nas extremidades e de uma força externa F(x,t)De<a x. Aplicando sum Fy = m,partial^2u/partial t^2, obtemos
rho(x),raizDe<a x^2 + De<a u^2;partial^2upartial t^2 = T(x+De<a x,t),sin[theta(x+De<a x,t)] - T(x,t),sin[theta(x,t)] + F(x,t),De<a x,
que é exatamente a forma pedida.

Passo 3

Agora, suponha lverttheta(x,t)rvertll1 e F(x,t)=0. Então sinthetaapproxtantheta=partial u/partial x e De<a sapproxDe<a x. Substituindo e dividindo por De<a x e fazendo o limite De<a xto0, chega-se a
rho(x),partial^2upartial t^2 = partialpartial xl(T,partial upartial xr)
Para tensão T constante e densidade homogênea, isso reduz-se à clássica equação
partial^2upartial t^2 = Trho,partial^2upartial x^2,
que é conhecida como a equação da onda.

Passo 4

Para verificar a dimensão de T/rho, note que
[T] = Newton = kg,m/s^2, [rho] = kg/m
Logo
[T][rho] = kg,m/s^2kg/m = m^2/s^2,
ou seja, tem dimensão de velocidade ao quadrado.

Resposta

A importância do movimento ondulatório está em permitir a propagação de energia e informação no nosso ambiente (p.ex., som e luz para percepção, ondas de rádio para comunicação).
b) A equação diferencial parcial obtida é a equação da onda.
c) A razão T/rho tem dimensão de m^2/s^2, isto é, de velocidade ao quadrado.

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