Qual é a importância do movimento ondulatório para a nossa percepção e comunicação com o ambiente em que vivemos?
Considere um corda elástica com densidade linear de massa
. Mostre que para os componentes verticais a
lei de Newton fica da seguinte forma:
(b) Se considerarmos
ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
c) Mostre que a razão entre a tensão
da corda e a densidade linear de massa
possui dimensão de velocidade ao quadrado.
Considere um corda elástica com densidade linear de massa
c) Mostre que a razão entre a tensão
Passo 1
O enunciado começa destacando a importância do movimento ondulatório para a nossa percepção (como audição e visão) e comunicação (rádio, telefonia, etc.). Para modelar matematicamente uma onda numa corda elástica com densidade linear de massa
, vamos aplicar a segunda lei de Newton ao segmento da corda entre
e
, obtendo a equação mostrada no enunciado. Em seguida, faremos a aproximação de pequenos ângulos (
) e ausência de forças externas, chegando à equação diferencial parcial característica de ondas. Por fim, faremos análise dimensional de
.
Passo 2
Considere um elemento de corda de comprimento
, com
onde
é o deslocamento vertical. A massa desse trecho é
A resultante das forças verticais sobre esse trecho vem das tensões nas extremidades e de uma força externa
. Aplicando
, obtemos
que é exatamente a forma pedida.
Passo 3
Agora, suponha
e
. Então
e
. Substituindo e dividindo por
e fazendo o limite
, chega-se a
Para tensão
constante e densidade homogênea, isso reduz-se à clássica equação
que é conhecida como a equação da onda.
Passo 4
Para verificar a dimensão de
, note que
Logo
ou seja, tem dimensão de velocidade ao quadrado.
Resposta
A importância do movimento ondulatório está em permitir a propagação de energia e informação no nosso ambiente (p.ex., som e luz para percepção, ondas de rádio para comunicação).
b) A equação diferencial parcial obtida é a equação da onda.
c) A razão tem dimensão de
, isto é, de velocidade ao quadrado.
b) A equação diferencial parcial obtida é a equação da onda.
c) A razão