(a) Quando uma corda de violão está vibrando, ela emite uma única frequência?
(b) O que são os harmônicos de uma corda vibrante?
(c) Como determinar matematicamente os harmônicos a partir do comprimento da corda?
(b) O que são os harmônicos de uma corda vibrante?
(c) Como determinar matematicamente os harmônicos a partir do comprimento da corda?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre o espectro de frequência de uma corda de violão em vibração: se ela emite apenas uma frequência, o que são seus harmônicos e como calculá-los a partir do comprimento da corda. O assunto envolve modos normais de vibração, condições de contorno fixas nas extremidades e a relação entre comprimento, velocidade de onda e frequência.
Passo 2
(a) Quando a corda vibra ela não emite apenas uma frequência. Ela vibra em vários modos simultâneos: o modo fundamental (menor frequência) e modos superiores (chamados harmônicos ou sobretons). Cada modo corresponde a um padrão de nós e ventres na corda, de forma que a forma de vibração real é a soma dessas frequências.
Passo 3
(b) Os harmônicos são os modos de vibração cujas frequências são múltiplos inteiros da frequência fundamental. No modo fundamental (primeiro harmônico) há exatamente dois nós nas extremidades e um ventre ao centro. No
-ésimo harmônico aparecem
ventres e
nós igualmente espaçados, e sua frequência é
vezes a do modo fundamental.
Passo 4
(c) Matematicamente usamos a condição de contorno que impõe nós nas duas extremidades separadas por comprimento
. O comprimento de onda do
-ésimo harmônico satisfaz
Se
é a velocidade de onda na corda (depende da tensão e da densidade linear), a frequência do
-ésimo harmônico é
Resposta
(a) Não, a corda vibra em vários modos simultâneos, emitindo o fundamental e seus sobretons.
(b) Harmônicos são os modos normais de vibração cujas frequências são múltiplos inteiros da fundamental, cada um com nós e ventres distribuídos ao longo da corda.
(c) Usando nós nas extremidades, o -ésimo harmônico tem comprimento de onda
e frequência
.
(b) Harmônicos são os modos normais de vibração cujas frequências são múltiplos inteiros da fundamental, cada um com nós e ventres distribuídos ao longo da corda.
(c) Usando nós nas extremidades, o