Considere a equação
.
Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com erro inferior a
. As condições iniciais são de sua escolha;
Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com erro inferior a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a raiz positiva de
usando o Método das Secantes com erro inferior a
. Não foi dada uma condição inicial fixa, então posso escolher dois pontos iniciais. Informação importante extraída do enunciado:
- A função é
. - Quer-se a raiz positiva (ou seja, o
tal que ). - Método exigido: Método das Secantes.
- Critério de parada: erro inferior a
(vou interpretar isso como ).
Passo 2
Explicando o Método das Secantes de forma bem direta e prática.
- Ideia: aproximar a função por uma reta que passa por dois pontos
e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula do Método das Secantes:
Cada item desta fórmula:
-
e são as duas últimas aproximações (pontos conhecidos). -
e são os valores da função nesses pontos. - A fração é a inclinação aproximada da reta secante; multiplicando por
e subtraindo de obtemos o zero da reta. - Critério de parada adotado aqui: parar quando
. Também verificarei para ter segurança numérica.
Passo 3
Escolha das condições iniciais (explicação e justificativa).
- Para escolher dois pontos iniciais é útil avaliar
em alguns pontos simples para ver onde muda de sinal. - Calculo rápido:
-
, então -
, então - Como
e , há uma raiz em . Para acelerar a convergência escolho dois pontos mais próximos à raiz estimada: e . Esses pontos dão valores de de sinais opostos (ver abaixo), o que é confortável para iniciar a secante.
-
- Valores iniciais usados:
-
. -
.
-
Passo 4
Avaliação inicial de
nos pontos escolhidos (mostrando como calcular).
- Calcular
e com precisão suficiente (valores conhecidos ou via série de Taylor). Usarei valores numéricos aproximados com boa precisão: -
. Então -
. Então
-
- Observação amigável: os sinais são opostos (
, ), ótimo para iniciar.
Passo 5
Primeira iteração da secante (usando
e
).
- Aplicando a fórmula da secante:
- Substituindo números:
- Diferença
(ainda grande). Calculei também com série de Taylor (termos até para boa precisão): -
. - Assim
-
Passo 6
Segunda iteração (usando
e
).
- Fórmula:
- Substituindo os números:
-
. -
, . - Então
-
- Diferença
. Calculei : -
. - Assim
-
Passo 7
Terceira iteração (usando
e
).
- Fórmula:
- Substituindo:
-
. -
, . - Calculando:
-
- Diferença
. Avaliação de : -
. - Assim
- Observação: o sinal de
mudou de negativo para positivo entre e , a raiz está entre eles.
-
Passo 8
Quarta iteração (usando
e
).
- Fórmula:
- Substituindo valores aproximados:
-
. -
, . - Fazendo as contas:
-
- Diferença
(ainda ligeiramente acima de ). Estimei também
Passo 9
Quinta iteração (usando
e
).
- Fórmula:
- Substituindo os valores aproximados:
-
. -
, . - Calculando:
-
- Diferença
. Portanto o critério de parada foi satisfeito. - Como verificação adicional,
é aproximadamente do ordem de (muito próximo de zero).