Considere a equação g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com erro inferior a 10^{-5}. As condições iniciais são de sua escolha;

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede a raiz positiva de
g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3,
usando o Método das Secantes com erro inferior a 10^{-5}. Não foi dada uma condição inicial fixa, então posso escolher dois pontos iniciais. Informação importante extraída do enunciado:
  • A função é g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
  • Quer-se a raiz positiva (ou seja, o x>0 tal que g(x)=0).
  • Método exigido: Método das Secantes.
  • Critério de parada: erro inferior a 10^{-5} (vou interpretar isso como |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}).

Passo 2

Explicando o Método das Secantes de forma bem direta e prática.
  • Ideia: aproximar a função por uma reta que passa por dois pontos (x_{n-1},g(x_{n-1})) e (x_n,g(x_n)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula do Método das Secantes:
x_{n+1}=x_n - g(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{g(x_n)-g(x_{n-1})}.
Cada item desta fórmula:
  • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações (pontos conhecidos).
  • g(x_{n-1}) e g(x_n) são os valores da função nesses pontos.
  • A fração é a inclinação aproximada da reta secante; multiplicando por g(x_n) e subtraindo de x_n obtemos o zero da reta.
  • Critério de parada adotado aqui: parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}. Também verificarei |g(x_{n+1})| para ter segurança numérica.

Passo 3

Escolha das condições iniciais (explicação e justificativa).
  • Para escolher dois pontos iniciais é útil avaliar g em alguns pontos simples para ver onde muda de sinal.
  • Calculo rápido:
    • \operatorname{sen}(1)\approx 0,8414709848, então g(1)=1-0,8414709848-0,3\approx -0,1414709848.
    • \operatorname{sen}(2)\approx 0,9092974268, então g(2)=2-0,9092974268-0,3\approx 0,7907025732.
    • Como g(1)<0 e g(2)>0, há uma raiz em (1,2). Para acelerar a convergência escolho dois pontos mais próximos à raiz estimada: x_0=1{,}2 e x_1=1{,}3. Esses pontos dão valores de g de sinais opostos (ver abaixo), o que é confortável para iniciar a secante.
  • Valores iniciais usados:
    • x_0=1{,}2.
    • x_1=1{,}3.

Passo 4

Avaliação inicial de g nos pontos escolhidos (mostrando como calcular).
  • Calcular \operatorname{sen}(1{,}2) e \operatorname{sen}(1{,}3) com precisão suficiente (valores conhecidos ou via série de Taylor). Usarei valores numéricos aproximados com boa precisão:
    • \operatorname{sen}(1{,}2)\approx 0{,}9320390859. Então g(1{,}2)=1{,}2-0{,}9320390859-0{,}3\approx -0{,}0320390859.
    • \operatorname{sen}(1{,}3)\approx 0{,}9635581854. Então g(1{,}3)=1{,}3-0{,}9635581854-0{,}3\approx 0{,}0364418146.
  • Observação amigável: os sinais são opostos ( g(1{,}2)<0, g(1{,}3)>0), ótimo para iniciar.

Passo 5

Primeira iteração da secante (usando x_0=1{,}2 e x_1=1{,}3).
  • Aplicando a fórmula da secante:
x_2 = x_1 - g(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{g(x_1)-g(x_0)}.
  • Substituindo números:
x_2 = 1{,}3 - 0{,}0364418146\cdot\frac{1{,}3-1{,}2}{0{,}0364418146-(-0{,}0320390859)} =1{,}3 - \frac{0{,}00364418146}{0{,}0684809005}\approx 1{,}2467788.
  • Diferença |x_2-x_1| \approx 0{,}0532212 (ainda grande). Calculei também g(x_2) com série de Taylor (termos até x^7 para boa precisão):
    • \operatorname{sen}(1{,}2467788)\approx 0{,}9479277.
    • Assim g(1{,}2467788)=1{,}2467788-0{,}9479277-0{,}3\approx -0{,}0011489.

Passo 6

Segunda iteração (usando x_1=1{,}3 e x_2=1{,}2467788).
  • Fórmula:
x_3 = x_2 - g(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{g(x_2)-g(x_1)}.
  • Substituindo os números:
    • x_2-x_1 = -0{,}0532212.
    • g(x_2)=-0{,}0011489, g(x_1)=0{,}0364418146.
    • Então
x_3 = 1{,}2467788 - (-0{,}0011489)\cdot\frac{-0{,}0532212}{-0{,}0011489-0{,}0364418146} \approx 1{,}248405.
  • Diferença |x_3-x_2|\approx 0{,}0016262. Calculei g(x_3):
    • \operatorname{sen}(1{,}248405)\approx 0{,}9484706.
    • Assim g(1{,}248405)\approx 1{,}248405-0{,}9484706-0{,}3\approx -0{,}0000656.

Passo 7

Terceira iteração (usando x_2=1{,}2467788 e x_3=1{,}248405).
  • Fórmula:
x_4 = x_3 - g(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{g(x_3)-g(x_2)}.
  • Substituindo:
    • x_3-x_2\approx 0{,}0016262.
    • g(x_3)\approx -0{,}0000656, g(x_2)\approx -0{,}0011489.
    • Calculando:
x_4 \approx 1{,}2485036.
  • Diferença |x_4-x_3|\approx 9{,}85\times10^{-5}. Avaliação de g(x_4):
    • \operatorname{sen}(1{,}2485036)\approx 0{,}9484930.
    • Assim g(1{,}2485036)\approx 1{,}2485036-0{,}9484930-0{,}3\approx 0{,}0000106.
    • Observação: o sinal de g mudou de negativo para positivo entre x_3 e x_4, a raiz está entre eles.

Passo 8

Quarta iteração (usando x_3=1{,}248405 e x_4=1{,}2485036).
  • Fórmula:
x_5 = x_4 - g(x_4)\,\frac{x_4-x_3}{g(x_4)-g(x_3)}.
  • Substituindo valores aproximados:
    • x_4-x_3\approx 9{,}85\times10^{-5}.
    • g(x_4)\approx 1{,}06\times10^{-5}, g(x_3)\approx -6{,}56\times10^{-5}.
    • Fazendo as contas:
x_5 \approx 1{,}2484909.
  • Diferença |x_5-x_4|\approx 1{,}369\times10^{-5} (ainda ligeiramente acima de 10^{-5}). Estimei também g(1{,}2484909)\approx -7{,}4\times10^{-6}.

Passo 9

Quinta iteração (usando x_4=1{,}2485036 e x_5=1{,}2484909).
  • Fórmula:
x_6 = x_5 - g(x_5)\,\frac{x_5-x_4}{g(x_5)-g(x_4)}.
  • Substituindo os valores aproximados:
    • x_5-x_4\approx -1{,}369\times10^{-5}.
    • g(x_5)\approx -7{,}42\times10^{-6}, g(x_4)\approx 1{,}06\times10^{-5}.
    • Calculando:
x_6 \approx 1{,}2484965.
  • Diferença |x_6-x_5|\approx 5{,}64\times10^{-6}<10^{-5}. Portanto o critério de parada |x_{n+1}-x_n|<10^{-5} foi satisfeito.
  • Como verificação adicional, g(1{,}2484965) é aproximadamente do ordem de 10^{-6} (muito próximo de zero).

Resposta

1,248496

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