Seja
(a) Prove que
tem duas raízes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas;
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
.
(a) Prove que
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são:
- (a) provar que
tem duas raízes, uma positiva e uma negativa, e determinar dois intervalos distintos que contenham cada uma delas; - (b) usar o Método de Newton para calcular a raiz positiva com erro inferior a
, escolhendo um valor inicial; - (c) usar o Método das Secantes para calcular a raiz negativa com erro inferior a
, escolhendo condições iniciais.
Informações relevantes dadas/úteis (que usarei depois):
- A expressão explícita de
é . - Derivada (que vou precisar para Newton):
Nenhuma figura foi fornecida.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar intervalos onde
muda de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano / Teorema do Valor Intermediário). Vou avaliar
em pontos estratégicos.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
. Isso mostra existência de raiz positiva e dá um intervalo para ela: por enquanto
.
Agora procure uma raiz negativa: calcule
:
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
. Isso dá um intervalo para a raiz negativa:
.
Resumo parcial:
- Existe uma raiz positiva em
. - Existe uma raiz negativa em
.
Passo 3
Agora vamos provar unicidade da raiz em cada intervalo (mostrar que em cada intervalo há exatamente uma raiz).
Vou estudar o sinal de
nas faixas encontradas.
Recordando
- Para
: tem-se e , então
logo
para todo
. Portanto
é estritamente crescente em
. Como encontramos
e
, a monotonicidade garante que a troca de sinal em
é causada por exatamente uma raiz. Assim há exatamente uma raiz positiva em
.
- Para
: temos e , então
logo
em todo
. Portanto
é estritamente decrescente em
. Como
e
, a monotonicidade implica que existe exatamente uma raiz em
.
Conclusão do item (a):
- Há exatamente duas raízes reais: uma negativa em
e uma positiva em . Intervalos determinados: raiz positiva em e raiz negativa em .
Passo 4
Vamos agora preparar o Método de Newton para obter a raiz positiva com erro <
.
Relembrando o Método de Newton:
- Dada
suficientemente suave, a iteração de Newton é
- A ideia: aproximar
por sua reta tangente em e tomar a interseção com o eixo . - Para aplicar precisamos calcular
e em cada iteração.
Escolho o valor inicial
. Motivo: é o extremo do intervalo
onde sabemos
e a função é crescente para
; Newton converge rapidamente a partir daí.
Agora faço as iterações, mostrando os cálculos (valores aproximados estão apresentados com 6–8 casas decimais onde necessário; todas as operações numéricas foram feitas mantendo precisão suficiente para garantir o erro pedido).
Defino novamente, para referência:
Iterações (Newton a partir de
):
- Iteração 0:
.
- Iteração 1:
.
- Iteração 2:
.
- Iteração 3:
.
Cálculo final de ajuste:
Observe as diferenças entre iterações:
Quando a diferença entre iterações fica menor que
podemos garantir que o erro na raiz é menor que
(critério prático: controlar
e verificar que
não é muito pequeno; aqui
é aproximadamente
, bem afastado de zero, então
dá garantia prática de precisão).
A iteração 4 dá a aproximação final (com diferença em relação a iteração anterior menor que
):
Passo 5
Agora aplico o Método das Secantes para encontrar a raiz negativa (em
), com erro inferior a
.
Breve explicação didática do Método das Secantes:
- O método das secantes usa duas aproximações iniciais
e e substitui a derivada pela inclinação da secante:
- Não exige cálculo de
(ao contrário de Newton) e costuma convergir superlinearmente quando as aproximações estão próximas da raiz.
Escolho as condições iniciais:
- Pelos sinais já calculados,
e , então escolho e .
Faço as iterações (mostrando valores aproximados):
Valores iniciais:
-
Iteração 1 (secante com
, ): Calculei(valor muito próximo de zero). -
Iteração 2 (secante com
, ): Agora os sinais dee são opostos e os valores são muito pequenos em magnitude, o que indica que já estamos muito próximos da raiz. -
Iteração 3 (secante com
, ): A mudança entree é da ordem de . Portanto já atingimos a precisão desejada em termos do critério de diferença entre iterações.
Concluímos com a aproximação (com erro inferior a
):
Resposta
Raiz positiva:
Raiz negativa:
Raiz negativa: