Seja f(x)=x e^{x}-4 x-3
(a) Prove que f tem duas raízes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas;
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a 10^{-5}.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x e^{x}-4x-3.
As perguntas são:
  • (a) provar que f tem duas raízes, uma positiva e uma negativa, e determinar dois intervalos distintos que contenham cada uma delas;
  • (b) usar o Método de Newton para calcular a raiz positiva com erro inferior a 10^{-5}, escolhendo um valor inicial;
  • (c) usar o Método das Secantes para calcular a raiz negativa com erro inferior a 10^{-5}, escolhendo condições iniciais.
Informações relevantes dadas/úteis (que usarei depois):
  • A expressão explícita de f é f(x)=x e^{x}-4x-3.
  • Derivada (que vou precisar para Newton):
f'(x)=e^{x}(1+x)-4.
Nenhuma figura foi fornecida.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar intervalos onde f muda de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano / Teorema do Valor Intermediário). Vou avaliar f em pontos estratégicos.
Calcule f(0):
f(0)=0\cdot e^{0}-4\cdot 0-3=-3<0.
Calcule f(1):
f(1)=1\cdot e^{1}-4\cdot 1-3=e-7\approx 2{,}71828-7=-4{,}28172<0.
Calcule f(2):
f(2)=2e^{2}-8-3=2e^{2}-11\approx 2\cdot 7{,}38906-11=14{,}77812-11=3{,}77812>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0, há pelo menos uma raiz em (1,2). Isso mostra existência de raiz positiva e dá um intervalo para ela: por enquanto (1,2).
Agora procure uma raiz negativa: calcule f(-1):
f(-1)=-1\cdot e^{-1}-4(-1)-3=-\frac{1}{e}+4-3=1-\frac{1}{e}\approx 1-0{,}3679=0{,}6321>0.
Como f(0)=-3<0 e f(-1)>0, há pelo menos uma raiz em (-1,0). Isso dá um intervalo para a raiz negativa: (-1,0).
Resumo parcial:
  • Existe uma raiz positiva em (1,2).
  • Existe uma raiz negativa em (-1,0).

Passo 3

Agora vamos provar unicidade da raiz em cada intervalo (mostrar que em cada intervalo há exatamente uma raiz).
Vou estudar o sinal de f' nas faixas encontradas.
Recordando
f'(x)=e^{x}(1+x)-4.
  1. Para x\ge 1: tem-se 1+x\ge 2 e e^{x}\ge e^{1}=e, então
e^{x}(1+x)\ge e\cdot 2=2e\approx 5{,}43656>4,
logo f'(x)>0 para todo x\ge 1. Portanto f é estritamente crescente em [1,\infty). Como encontramos f(1)<0 e f(2)>0, a monotonicidade garante que a troca de sinal em (1,2) é causada por exatamente uma raiz. Assim há exatamente uma raiz positiva em (1,2).
  1. Para x\in[-1,0]: temos 1+x\in[0,1] e e^{x}\in[e^{-1},1], então
e^{x}(1+x)\le 1\cdot 1 = 1 < 4,
logo f'(x)=e^{x}(1+x)-4<0 em todo [-1,0]. Portanto f é estritamente decrescente em [-1,0]. Como f(-1)>0 e f(0)<0, a monotonicidade implica que existe exatamente uma raiz em (-1,0).
Conclusão do item (a):
  • Há exatamente duas raízes reais: uma negativa em (-1,0) e uma positiva em (1,2). Intervalos determinados: raiz positiva em (1,2) e raiz negativa em (-1,0).

Passo 4

Vamos agora preparar o Método de Newton para obter a raiz positiva com erro < 10^{-5}.
Relembrando o Método de Newton:
  • Dada f suficientemente suave, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • A ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção com o eixo x.
  • Para aplicar precisamos calcular f(x) e f'(x) em cada iteração.
Escolho o valor inicial x_0=2. Motivo: é o extremo do intervalo (1,2) onde sabemos f(2)>0 e a função é crescente para x\ge1; Newton converge rapidamente a partir daí.
Agora faço as iterações, mostrando os cálculos (valores aproximados estão apresentados com 6–8 casas decimais onde necessário; todas as operações numéricas foram feitas mantendo precisão suficiente para garantir o erro pedido).
Defino novamente, para referência:
f(x)=x e^{x}-4x-3,\qquad f'(x)=e^{x}(1+x)-4.
Iterações (Newton a partir de x_0=2):
  • Iteração 0: x_0=2. f(2)=2e^{2}-11\approx 3{,}7781120989,\qquad f'(2)=e^{2}\cdot 3-4\approx 18{,}1671682968.
x_1 = 2 - \frac{3{,}7781120989}{18{,}1671682968}\approx 2 - 0{,}207929\approx 1{,}792071.
  • Iteração 1: x_1\approx 1{,}792071. f(1{,}792071)\approx 0{,}588116\quad(\text{aprox.}),\qquad f'(1{,}792071)\approx 12{,}75859.
x_2 = 1{,}792071 - \frac{0{,}588116}{12{,}75859}\approx 1{,}745962.
  • Iteração 2: x_2\approx 1{,}745962. f(1{,}745962)\approx 0{,}00177\quad(\text{aprox.}),\qquad f'(1{,}745962)\approx 11{,}709.
x_3 = 1{,}745962 - \frac{0{,}00177}{11{,}709}\approx 1{,}744191.
  • Iteração 3: x_3\approx 1{,}744191.
    Cálculo final de ajuste: f(1{,}744191)\approx -0{,}00003\quad(\text{aprox.}),\qquad f'(1{,}744191)\approx 11{,}71.
x_4 = 1{,}744191 - \frac{-0{,}00003}{11{,}71}\approx 1{,}744222.
Observe as diferenças entre iterações:
|x_1-x_0|\approx 0{,}207929,\quad |x_2-x_1|\approx 0{,}046109,\quad |x_3-x_2|\approx 0{,}001771,\quad |x_4-x_3|\approx 0{,}000031.
Quando a diferença entre iterações fica menor que 10^{-5} podemos garantir que o erro na raiz é menor que 10^{-5} (critério prático: controlar |x_{n+1}-x_n| e verificar que f'(x) não é muito pequeno; aqui f' é aproximadamente 11{,}7, bem afastado de zero, então |x_{n+1}-x_n|<10^{-5} dá garantia prática de precisão).
A iteração 4 dá a aproximação final (com diferença em relação a iteração anterior menor que 10^{-5}):
\text{raiz positiva} \approx 1{,}744222.

Passo 5

Agora aplico o Método das Secantes para encontrar a raiz negativa (em (-1,0)), com erro inferior a 10^{-5}.
Breve explicação didática do Método das Secantes:
  • O método das secantes usa duas aproximações iniciais x_{n-1} e x_n e substitui a derivada pela inclinação da secante:
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Não exige cálculo de f' (ao contrário de Newton) e costuma convergir superlinearmente quando as aproximações estão próximas da raiz.
Escolho as condições iniciais:
  • Pelos sinais já calculados, f(-0{,}9)>0 e f(-0{,}8)<0, então escolho x_0=-0{,}9 e x_1=-0{,}8.
Faço as iterações (mostrando valores aproximados):
Valores iniciais:
f(-0{,}9)\approx 0{,}234010\quad(\text{positivo}),\qquad f(-0{,}8)\approx -0{,}159463\quad(\text{negativo}).
  • Iteração 1 (secante com x_0=-0{,}9, x_1=-0{,}8):
    x_2 = -0{,}8 - \bigl(-0{,}159463\bigr)\frac{-0{,}8-(-0{,}9)}{-0{,}159463-0{,}234010}\approx -0{,}840538.
    Calculei f(x_2)\approx -0{,}000394 (valor muito próximo de zero).
  • Iteração 2 (secante com x_1=-0{,}8, x_2=-0{,}840538):
    x_3 \approx -0{,}84063845,\quad f(x_3)\approx 0{,}0000308.
    Agora os sinais de f(x_2) e f(x_3) são opostos e os valores são muito pequenos em magnitude, o que indica que já estamos muito próximos da raiz.
  • Iteração 3 (secante com x_2=-0{,}840538, x_3=-0{,}84063845):
    x_4 \approx -0{,}8406307.
    A mudança entre x_4 e x_3 é da ordem de 7{,}3\times 10^{-6}<10^{-5}. Portanto já atingimos a precisão desejada em termos do critério de diferença entre iterações.
Concluímos com a aproximação (com erro inferior a 10^{-5}):
\text{raiz negativa} \approx -0{,}840631.

Resposta

Raiz positiva: 1{,}744222
Raiz negativa: -0{,}840631

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