Considere a equação polar r=-8 cos theta
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar
    A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: 0 0 1 6 6 6 6 6 ou 13.07976

    Esboce cuidadosamente a curva polar no plano x y, e determine o comprimento da curva usando a formulação para curvas polares.
    O valor do comprimento da curva é square

Passo 1

A equação polar dada é r=-8costheta. O conteúdo principal é curvas em coordenadas polares: precisamos esboçar a curva no plano xy e calcular seu comprimento usando a fórmula de comprimento em coordenadas polares.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por r obtemos a forma cartesiana. Como r^2=x^2+y^2 e rcostheta=x, temos:
x^2+y^2=-8x
ou seja
x^2+8x+y^2=0
que reescreve como
(x+4)^2+y^2=16
Portanto é um círculo.

Passo 3

O círculo tem centro em (-4,0) e raio 4, passando pela origem. No esboço, coloca-se o centro em (-4,0), traça-se o círculo de raio 4, que intercepta o eixo x nos pontos (0,0) e (-8,0).

Passo 4

A fórmula para o comprimento de uma curva polar r(theta) é
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 5

Calculamos a derivada de r(theta):
r(theta)=-8costhetaLongrightarrowdrdtheta=8sintheta

Passo 6

Substituindo no radicando:
r^2+l(drdthetar)^2=64cos^2theta+64sin^2theta=64

Passo 7

Para traçar o círculo uma única vez sem ambiguidade (evitando r<0), escolhemos thetain[tfracpi2,tfrac3pi2].

Passo 8

Assim
L=integralpi/2^3pi/2raiz64,dtheta=integralpi/2^3pi/28,dtheta=8l(tfrac3pi2-tfracpi2r)=8pi
Em valor decimal, 8piapprox25.132741.

Resposta

25.132741

Exercícios relacionados