Determine a solução geral da equação diferencial:
Dica: Use a definição de coseno hiperbólico
.
Passo 1
A equação dada é
. Esse assunto é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos usar o método de coeficientes indeterminados e a identidade
.
Passo 2
Começando pela parte homogênea, consideramos
. O polinômio característico é
, cujas raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, escrevemos o termo não homogêneo como
Usamos superposição: buscamos
$$y_{p1}(t) = A t e^{2t}.
que ao substituir gera
, logo
. Portanto
$$y_p(t) = \tfrac16 ;t e^{2t} + \tfrac18 ;e^{-2t}.
$$
Passo 4
Juntando as duas partes, a solução geral da equação original é