Determine a solução geral da equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=cosh (2 t)
Dica: Use a definição de coseno hiperbólico cosh (t)=(e^t+e^-t) / 2.

Passo 1

A equação dada é y'' - y' - 2y = cosh(2t). Esse assunto é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos usar o método de coeficientes indeterminados e a identidade cosh(2t) = (e^2t + e^-2t)/2.

Passo 2

Começando pela parte homogênea, consideramos y'' - y' - 2y = 0. O polinômio característico é r^2 - r - 2 = 0, cujas raízes são r = 2 e r = -1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t

Passo 3

Para a solução particular, escrevemos o termo não homogêneo como
cosh(2t) = tfrac12 e^2t + tfrac12 e^-2t
Usamos superposição: buscamos yp = yp1 + yp2. Para tfrac12 e^2t, como e^2t é solução da homogênea, tentamos
$$y_{p1}(t) = A t e^{2t}.
yp1(t) = A t e^2t áãéíy_{p2}(t) = B e^{-2t},$$
que ao substituir gera y'' - y' -2y, logo 3A e^2t. Portanto
$$y_p(t) = \tfrac16 ;t e^{2t} + \tfrac18 ;e^{-2t}.
$$

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução geral da equação original é
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + tfrac16 ;t e^2t + tfrac18 ;e^-2t

Resposta

y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + tfrac16,t e^2t + tfrac18,e^-2t

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