Descreva as curvas de Nível de f(x, y)=e^-(z^2+y^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos descrever as curvas de nível dessa função. Isso envolve entender conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são linhas no plano onde a função assume valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como f(x, y) = c , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde tem o mesmo valor constante, digamos . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função:
e^-(x^2 + y^2) = c
Para resolver essa equação, precisamos isolar .

Passo 4

Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para eliminar a exponencial:
ln(e^-(x^2 + y^2)) = ln(c)
O logaritmo da exponencial simplifica para:
-(x^2 + y^2) = ln(c)

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por -1:
x^2 + y^2 = -ln(c)
Essa é a equação de um círculo no plano com centro na origem e raio .

Passo 6

Como a função sempre retorna valores positivos menores que 1, o valor de deve estar no intervalo . Isso garante que seja positivo, tornando o raio um número real.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos centrados na origem com raio igual a , onde é uma constante no intervalo .

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