Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de um produto, e C(x)=12 x^2-2 x+5.
Ache as funções custo médio Q(x)=C(x)x e custo marginal C^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de custo total de produção, , onde representa a quantidade de unidades produzidas. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função de custo médio e a função de custo marginal . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para calcular e cálculo diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a função de custo médio Q(x) = C(x)x . Isso significa que a gente divide o custo total pela quantidade . Então, temos:

Passo 3

Substituindo a expressão de Q(x) = 12x^2 - 2x + 5x na fórmula de Q(x) = 12x^2 div x - 2x div x + 5 div x :
Q(x) = 12x - 2 + 5x
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por Q(x) = 12x - 2 + 5x :
Então, a função de custo médio fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de custo marginal . O custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade produzida. Ou seja, precisamos diferenciar em relação a .

Passo 5

Diferenciando C'(x) = ddx ( 12x^2 ) - ddx (2x) + ddx (5) em relação a C'(x) = 12 cdot 2x^1 - 2 + 0 :
C'(x) = x - 2

Resposta

A função de custo médio é:
Q(x) = 12x - 2 + 5x
E a função de custo marginal é:
C'(x) = x - 2

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