Considere a equação
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 e^-t
do Exemplo 5. Lembre-se de que y1(t)=e^-t e y2(t)=e^4 t são soluções da equação homogênea. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma Y(t)=v(t) y1(t)=v(t) e^-t, onde v(t) deverá ser determinado.
(a) Substitua Y(t), Y^prime(t) e Y^prime prime(t) na Eq. (i) e mostre que v(t) tem que satisfazer v^prime prime-5 v^prime=2.
(b) Seja w(t)=v^prime(t) e mostre que w(t) tem que satisfazer w^prime-5 w=2. Resolva esta equação para w(t).
© Integre w(t) para encontrar v(t) e depois mostre que
Y(t)=-15 t e^-t+15 c1 e^4 t+c2 e^-t.
A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um múltiplo de t de e^-t.

Passo 1

Temos a equação não homogênea y''-3y'-4y=2e^-t. O conteúdo é o método de redução de ordem adaptado para achar uma solução particular usando uma solução y1(t)=e^-t da homogênea e buscando Y(t)=v(t)y1(t)=v(t)e^-t. Vamos precisar calcular Y', Y'', substituir na equação e encontrar uma equação para v(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas de Y(t)=v(t)e^-t:
Y'=v' e^-t-v e^-t,
Y''=v'' e^-t-2v' e^-t+v e^-t
Substituindo em y''-3y'-4y=2e^-t e fatorando e^-t obtemos
e^-tl(v''-2v'+v-3(v'-v)-4vr)=2e^-t,
o que simplifica para
v''-5v'=2

Passo 3

Definindo w(t)=v'(t), a equação v''-5v'=2 vira
w'-5w=2,
que é uma equação linear de 1º ordem. O fator integrante é e^-5t, logo
ddtl(w e^-5tr)=2e^-5t
Integrando,
w e^-5t=-tfrac25e^-5t+C1
e assim
w(t)=v'(t)=C1e^5t-tfrac25

Passo 4

Agora integramos v'(t)=C1e^5t-tfrac25:
v(t)=integrall(C1e^5t-tfrac25r)dt=tfracC15e^5t-tfrac25t+C2

Passo 5

Por fim,
Y(t)=v(t)e^-t=tfracC15e^5te^-t-tfrac25t e^-t+C2e^-t=tfracC15e^4t-tfrac25t e^-t+C2e^-t
Renomeando tfracC15 como c1 e C2 como c2, obtemos
Y(t)=-tfrac15t e^-t+tfrac15c1e^4t+c2e^-t

Resposta

Y(t)=-\frac{1}{5}t e{-t}+\frac{1}{5}c_{1}e{4t}+c_{2}e^{-t}

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