Considere a equação
do Exemplo 5. Lembre-se de que
e
são soluções da equação homogênea. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma
, onde
deverá ser determinado.
(a) Substitua
,
e
na Eq. (i) e mostre que
tem que satisfazer
.
(b) Seja
e mostre que
tem que satisfazer
. Resolva esta equação para
.
© Integre
para encontrar
e depois mostre que
.
A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um múltiplo de
de
.
do Exemplo 5. Lembre-se de que
(a) Substitua
(b) Seja
© Integre
A primeira parcela é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um múltiplo de
Passo 1
Temos a equação não homogênea
. O conteúdo é o método de redução de ordem adaptado para achar uma solução particular usando uma solução
da homogênea e buscando
. Vamos precisar calcular
,
, substituir na equação e encontrar uma equação para
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
e fatorando
obtemos
o que simplifica para
Passo 3
Definindo
, a equação
vira
que é uma equação linear de 1º ordem. O fator integrante é
, logo
Integrando,
e assim
Passo 4
Agora integramos
:
Passo 5
Por fim,
Renomeando
como
e
como
, obtemos
Resposta
Y(t)=-\frac{1}{5}t e{-t}+\frac{1}{5}c_{1}e{4t}+c_{2}e^{-t}