Prove que não existe inteiro
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum inteiro
que satisfaça
. Vamos usar propriedades de ordem no conjunto dos inteiros e o fato de que o 1 é o menor inteiro estritamente positivo.
Passo 2
Lembramos que o conjunto dos inteiros
é ordenado e que existe um sucessor para cada inteiro. Definimos o número 1 como o sucessor de 0, e o conjunto dos inteiros positivos como
Pelo Princípio do Bom Ordenamento (ou pela definição de sucessor em
), o conjunto
tem um menor elemento, que é exatamente
. Assim, para todo inteiro
com
, segue-se que
Passo 3
Se supusermos que exista
tal que
, teríamos simultaneamente
Mas da propriedade anterior sabemos que
implica
. Logo é impossível que
. Isso é uma contradição.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição, concluímos que our suposição inicial era falsa. Portanto, não existe inteiro
tal que
.
Resposta
Não existe nenhum inteiro
que satisfaça
.