Utilize o Método de Lagrange, para resolver a equação diferencial linear que segue:
d yd x-y cdot tg x=1cos x
Solução: y=e^-integral P d x cdot(integral e^integral P d x cdot Q cdot d x+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Lagrange. O enunciado nos dá a seguinte equação:
dydx - y cdot tan(x) = 1cos(x)
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = -tan(x) e Q(x) = 1cos(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo $ P(x) = -\tan(x) $:
P(x) = -tan(x)

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral -tan(x) , dx = -integral tan(x) , dx = -ln|sec(x)| + C
Simplificando, podemos ignorar a constante $ C $ para o fator integrante:
C

Passo 5

Com o fator integrante calculado ($ \mu(x) = \cos(x) $), multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x) = cos(x)
Simplificando:
mu(x)

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ y \cdot \cos(x) $:
y cdot cos(x)
Isso porque:
ddx [y cdot cos(x)] = 1
Que é exatamente o que temos.

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Resultado da integração:
integral ddx [y cdot cos(x)] , dx = integral 1 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (x + C) cdot sec(x)

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