Utilize o Método de Lagrange, para resolver a equação diferencial linear que segue:
Solução:
Solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Lagrange. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = -\tan(x) $:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Simplificando, podemos ignorar a constante $ C $ para o fator integrante:
Passo 5
Com o fator integrante calculado ($ \mu(x) = \cos(x) $), multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ y \cdot \cos(x) $:
Isso porque:
Que é exatamente o que temos.
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Resultado da integração:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: