Considere a equação
, com
. Mostre que:
é uma solução da equação (*), quando a equação característica tiver apenas uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é solução da equação diferencial
, dado que a equação característica dessa equação tem apenas uma solução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente quando temos raízes repetidas na equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação característica. Para uma equação diferencial do tipo
, a equação característica é dada por
. As soluções dessa equação, os valores de
, nos dão as formas das soluções da equação diferencial.
Passo 3
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas, a solução geral é
. Mas o que acontece quando as raízes são iguais, ou seja, quando temos uma raiz dupla? Isso acontece quando o discriminante
.
Passo 4
Nesse caso de raiz dupla, a solução da equação diferencial muda um pouco. A solução geral passa a ser
, onde
é a raiz dupla da equação característica. Isso porque precisamos de uma segunda solução linearmente independente, e multiplicar por
resolve isso.
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. A função dada é
. Observamos que ela se parece com a forma da solução no caso de raiz dupla, onde
.
Passo 6
Para confirmar, vamos substituir
na equação diferencial
e ver se a equação é satisfeita. Calcularemos
e
de
:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação
, temos:
Após substituir e simplificar todos os termos, percebemos que todos os termos se cancelam, confirmando que
satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Portanto, mostramos que
é realmente uma solução da equação diferencial
quando a equação característica tem apenas uma solução, ou seja, uma raiz dupla.